Question

【題目】如圖，直線AB表達式為y＝﹣2x+2，交x軸于點A，交y軸于點B．若y軸負半軸上有一點C，且CO＝AO．

（1）求點C的坐標和直線AC的表達式；

（2）在直線AC上是否存在點D，使以點A、B、D為頂點的三角形與△ABO相似？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，﹣），直線AC的解析式為y＝x﹣；（2）存在，點D的坐標為（0，﹣）或（2，）或（﹣3，﹣2）或（5，2）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出A，B的坐標，再求出點C的坐標即可解決問題．
（2）首先證明∠BAC=90°，推出△BAC∽△BOA.如圖，分四種情況求解：當點D1與C重合時，以點A、B、D為頂點的三角形與△ABO相似，此時D1（0，-）；根據(jù)對稱性可知當AD1=AD3時，△ABD3與△AOB相似，此時D3（2，）；當△BAD2∽△AOB時，＝，求出AD2的長，設D2（m，m-），列出方程求出m即可解決問題．

解：（1）對于直線y＝﹣2x+2，令x＝0，得到y＝2，令y＝0，得到x＝1，

∴A（1，0），B（0，2），

∴OA＝1，OB＝2，

∵OC＝OA＝，

∴C（0，﹣），

設直線AC的解析式為y＝kx+b，

則有，解得，

∴直線AC的解析式為y＝x﹣．

（2）如圖，

由（1）可知，A（1，0），B（0，2），C（0，﹣），

∴AB＝＝，AC＝＝，BC＝，

∴BC2＝AB2+AC2，

∴∠BAC＝90°，

∵∠ABO＝∠ABC，∠AOB＝∠BAC＝90°，

∴△BAC∽△BOA，

∴當點D1與C重合時，以點A、B、D為頂點的三角形與△ABO相似，此時D1（0，﹣）；

根據(jù)對稱性可知當AD1＝AD3時，△ABD3與△AOB相似，此時D3（2，）．

當△BAD2∽△AOB時，＝，∴＝，∴AD2＝2，

設D2（m，m﹣），則有（m﹣1）2+（m﹣）2＝20，解得m＝﹣3或5，

∴D2（﹣3，﹣2），D4（5，2），

綜上所述，滿足條件的點D的坐標為（0，﹣）或（2，）或（﹣3，﹣2）或（5，2）．