【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2)三點.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)點D是該二次函數(shù)圖象上的一點,且滿足∠DBA=∠CAO(O是坐標原點),求點D的坐標;
(3)點P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動點,連接PA分別交BC,y軸與點E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2 , 求S1﹣S2的最大值.
【答案】
(1)
解:由題意可得 ,解得 ,
∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2;
(2)
解:當點D在x軸上方時,過C作CD∥AB交拋物線于點D,如圖1,
∵A、B關(guān)于對稱軸對稱,C、D關(guān)于對稱軸對稱,
∴四邊形ABDC為等腰梯形,
∴∠CAO=∠DBA,即點D滿足條件,
∴D(3,2);
當點D在x軸下方時,
∵∠DBA=∠CAO,
∴BD∥AC,
∵C(0,2),
∴可設(shè)直線AC解析式為y=kx+2,把A(﹣1,0)代入可求得k=2,
∴直線AC解析式為y=2x+2,
∴可設(shè)直線BD解析式為y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=﹣8,
∴直線BD解析式為y=2x﹣8,
聯(lián)立直線BD和拋物線解析式可得 ,解得 或 ,
∴D(﹣5,﹣18);
綜上可知滿足條件的點D的坐標為(3,2)或(﹣5,﹣18);
(3)
解:過點P作PH∥y軸交直線BC于點H,如圖2,
設(shè)P(t,﹣ t2+ t+2),
由B、C兩點的坐標可求得直線BC的解析式為y=﹣ x+2,
∴H(t,﹣ t+2),
∴PH=yP﹣yH=﹣ t2+ t+2﹣(﹣ t+2)=﹣ t2+2t,
設(shè)直線AP的解析式為y=px+q,
∴ ,解得 ,
∴直線AP的解析式為y=(﹣ t+2)(x+1),令x=0可得y=2﹣ t,
∴F(0,2﹣ t),
∴CF=2﹣(2﹣ t)= t,
聯(lián)立直線AP和直線BC解析式可得 ,解得x= ,即E點的橫坐標為 ,
∴S1= PH(xB﹣xE)= (﹣ t2+2t)(5﹣ ),S2= ,
∴S1﹣S2= (﹣ t2+2t)(5﹣ )﹣ =﹣ t2+5t=﹣ (t﹣ )2+ ,
∴當t= 時,有S1﹣S2有最大值,最大值為 .
【解析】(1)由A、B、C三點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;(2)當點D在x軸上方時,則可知當CD∥AB時,滿足條件,由對稱性可求得D點坐標;當點D在x軸下方時,可證得BD∥AC,利用AC的解析式可求得直線BD的解析式,再聯(lián)立直線BD和拋物線的解析式可求得D點坐標;(3)過點P作PH∥y軸交直線BC于點H,可設(shè)出P點坐標,從而可表示出PH的長,可表示出△PEB的面積,進一步可表示出直線AP的解析式,可求得F點的坐標,聯(lián)立直線BC和PA的解析式,可表示出E點橫坐標,從而可表示出△CEF的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得S1﹣S2的最大值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識,掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點,以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知四邊形ABCD,ADEF都是菱形,∠BAD=∠FAD,∠BAD為銳角.
(1)求證:AD⊥BF;
(2)若BF=BC,求∠ADC的度數(shù).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=x+m (m為常數(shù))的圖像與x軸交于點A(-3,0),與y軸交于點C.以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)經(jīng)過A、C兩點,并與x軸的正半軸交于點B.
(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若P是拋物線對稱軸上一動點,△ACP周長最小時,求出P的坐標;
(3)是否存在拋物在線一動點Q,使得△ACQ是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出點Q的橫坐標;若不存在,請說明理由;
(4)在(2)的條件下過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1,y1),M2(x2,y2)兩點,試問是否為定值,如果是,請直接寫出結(jié)果,如果不是請說明理由.
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【題目】已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(﹣3,2).
(1)求它的解析式;
(2)在直角坐標中畫出該反比例函數(shù)的圖象;
(3)若﹣3<x<﹣2,求y的取值范圍.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+ x+2與x軸交于點A,B,與y軸交于點C.
(1)試求A,B,C的坐標;
(2)將△ABC繞AB中點M旋轉(zhuǎn)180°,得到△BAD.
①求點D的坐標;
②判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;
(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點P,使△BMP與△BAD相似?若存在,請直接寫出所有滿足條件的P點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長是16,點E在邊AB上,AE=3,點F是邊BC上不與點B、C重合的一個動點,把△EBF沿EF折疊,點B落在B′處,若△CDB′恰為等腰三角形,則DB′的長為 .
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【題目】超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末,小鵬等三位同學在濱海大道紅樹林路段,嘗試用自己所學的知識檢測車速,觀測點設(shè)在到公路l的距離為100米的P處.這時,一輛富康轎車由西向東勻速駛來,測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒,并測得∠APO=60°,∠BPO=45°,試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度?
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【題目】甲、乙兩車沿同一平直公路由A地勻速行駛(中途不停留),前往終點B地,甲、乙兩車之間的距離S(千米)與甲車行駛的時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列說法:
①甲、乙兩地相距210千米;②甲速度為60千米/小時;③乙速度為120千米/小時;④乙車共行駛3 小時,其中正確的個數(shù)為( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】為了調(diào)查市場上某品牌方便面的色素含量是否符合國家標準,工作人員在超市里隨機抽取了某品牌的方便面進行檢驗.圖1和圖2是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,其中A、B、C、D分別代表色素含量為0.05%以下、0.05%~0.1%、0.1%~0.15%、0.15%以上,圖1的條形圖表示的是抽查的方便面中色素含量分布的袋數(shù),圖2的扇形圖表示的是抽查的方便面中色素的各種含量占抽查總數(shù)的百分比.請解答以下問題:
(1)本次調(diào)查一共抽查了多少袋方便面?
(2)將圖1中色素含量為B的部分補充完整;
(3)圖2中的色素含量為D的方便面所占的百分比是多少?
(4)若色素含量超過0.15%即為不合格產(chǎn)品,某超市這種品牌的方便面共有10000袋,那么其中不合格的產(chǎn)品有多少袋?
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