唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題--將軍飲馬問題:
如圖1所示,詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā),走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短?
作法如下:如(1)圖,從B出發(fā)向河岸引垂線,垂足為D,在AP的延長線上,取B關于河岸的對稱點B′,連接AB′,與河岸線相交于P,則P點就是飲馬的地方,將軍只要從A出發(fā),沿直線走到P,飲馬之后,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的.
(1)觀察發(fā)現
再如(2)圖,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,點E、F是底邊AD與BC的中點,連接EF,在線段EF上找一點P,使BP+AP最短.
作點B關于EF的對稱點,恰好與點C重合,連接AC交EF于一點,則這點就是所求的點P,故BP+AP的最小值為
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(2)實踐運用
如(3)圖,已知⊙O的直徑MN=1,點A在圓上,且∠AMN的度數為30°,點B是弧AN的中點,點P在直徑MN上運動,求BP+AP的最小值.
(3)拓展遷移
如圖,已知拋物線y=ax
2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
①求這條拋物線所對應的函數關系式;
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M,使△ACM周長最小,請求出此時點M的坐標與△ACM周長最小值.(結果保留根號)