Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE交射線DC于點(diǎn)F，將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．
（1）當(dāng)=1時(shí)，CF=______cm，
（2）當(dāng)=2時(shí)，求sin∠DAB′的值；
（3）當(dāng)=x時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合），請(qǐng)寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過(guò)程）．

Answer 1

解：（1）當(dāng)=1時(shí)，∵AB∥DF，
∴=1．
∵AB=6，
∴CF=6cm．

（2）①如圖1．當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB′交DC于點(diǎn)M．
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴．
∵=2，
∴CF=3；
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠F；
又∠BAE=∠B′AE，
∴∠B′AE=∠F，
∴MA=MF．
令MA=MF=k，則MC=k-3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：k²=（9-k）²+6²，
解得k=MA=，
∴DM=．
∴sin∠DAB′=．
②如圖2．當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)AD交B′E于點(diǎn)N，同①可得NA=NE．
設(shè)NA=NE=m，則B′N=12-m，
在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，
解得m=AN=，
∴B′N=，
∴sin∠DAB′=．

（3）當(dāng)=x時(shí)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y．分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)．
∵=x，
∴=，BE=，
∴y=×AB×BE，即y=．
②當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，△ADF的面積為所求．
∵=x，∴=，
又∵AD=6，
∴FC=，DF=6-；
∴，
∴y=．
分析：（1）當(dāng)=1時(shí)，由AB∥DF，得，由AB=6，CF可求．
（2）當(dāng)=2時(shí)，①點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，延長(zhǎng)AB′交DC于點(diǎn)M，求sin∠DAB′的值，即求的值，由AB∥CF，可得△ABE∽△FCE，即得=2，又AB=6，可得CF=3；由∠BAE=∠F，又∠BAE=∠B′AE，可得∠B′AE=∠F，即MA=MF．設(shè)MA=MF=k，則MC=k-3，DM=9-k．在Rt△ADM中，由勾股定理得：k²=（9-k）²+6²，解得k=．得DM=，．即sin∠DAB′的值可求．②點(diǎn)E在不在線段AB上時(shí)，如圖2所示，求sin∠DAB′的值，即是求的值，同理可求．
（3）當(dāng)=x時(shí)，求△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，同理需分兩種情況，①動(dòng)點(diǎn)的位置在線段BC上，所求△AB′E的面積即為△ABE的面積；②動(dòng)點(diǎn)的位置不在線段BC上，△ADF的面積為所求．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查函數(shù)、正方形，平行線分線段成比例定理、圖形的旋轉(zhuǎn)、等知識(shí)點(diǎn)．分類討論的思想，綜合性強(qiáng)．