Question

【題目】已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的頂點D在BC邊上，DP交AB邊于點E，DQ交AB邊于點O且交CA的延長線于點F（點F與點A不重合），設∠PDQ=∠B，BD=3．
（1）求證：△BDE∽△CFD；
（2）設BE=x，OA=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域；
（3）當△AOF是等腰三角形時，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠EDC=∠B+∠BED，

∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED，

∵∠EDO=∠B，

∴∠BED=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFD．

（2）

解：過點D作DM∥AB交AC于M（如圖1中）．

∵△BDE∽△CFD，

∴ ，∵BC=8，BD=3，BE=x，

∴ = ，

∴FC= ，

∵DM∥AB，

∴ ，即 = ，

∴DM= ，

∵DM∥AB，

∴∠B=∠MDC，

∴∠MDC=∠C，

∴CM=DM= ，F(xiàn)M= ﹣ ，

∵DM∥AB，

∴ ，即 = ，

∴y= （0＜x＜3）．

（3）

解：①當AO=AF時，

由（2）可知AO=y= ，AF=FC﹣AC= ﹣5，

∴ = ﹣5，解得x= ．

∴BE=

②當FO=FA時，易知DO=AM= ，作DH⊥AB于H（如圖2中），

BH=BDcos∠B=3× = ，

DH=BDsin∠B=3× = ，

∴HO= = ，

∴OA=AB﹣BH﹣HO= ，

由（2）可知y= ，即 = ，解得x= ，

∴BE= ．

③當OA=OF時，設DP與CA的延長線交于點N（如圖3中）．

∴∠OAF=∠OFA，∠B=∠C=∠ANE，

由△ABC≌△CDN，可得CN=BC=8，ND=5，

由△BDE≌△NAE，可得NE=BE=x，ED=5﹣x，

作EG⊥BC于G，則BG= x，EG= x，

∴GD= ，

∴BG+GD= x+ =3，

∴x= ＞3（舍棄），

綜上所述，當△OAF是等腰三角形時，BE= 或 ．

【解析】（1）根據(jù)兩角對應相等兩三角形相似即可證明．（2）過點D作DM∥AB交AC于M（如圖1中）．由△BDE∽△CFD，得 ，推出FC= ，由DM∥AB，得 ，推出DM= ，由DM∥AB，推出∠B=∠MDC，∠MDC=∠C，CM=DM= ，F(xiàn)M= ﹣ ，于DM∥AB，得 ，代入化簡即可．（3）分三種情形討論①當AO=AF時，②當FO=FA時，③當OA=OF時，分別計算即可．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質和相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．