Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，A的坐標(biāo)為（a，0），D的坐標(biāo)為（0，b），且a、b滿足
（1）求A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形△ADB，直接寫(xiě)出B的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)B在第四象限時(shí)，將△ADB沿直線BD翻折得到△A′DB，點(diǎn)P為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），PM⊥PA交A′B于M，且PM=PA，MN⊥PB于N，請(qǐng)?zhí)骄浚篜D、PN、BN之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

解：（1）∵a、b滿足，
∴a+2=0，b-4=0，
解得：a=-2，b=4，
∴A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（-2，0），（0，4）；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B₁作B₁C⊥x軸于點(diǎn)C，
∵△AB₁D是等腰直角三角形，
∴AB₁=AD，∠B₁AC+∠OAD=90°，
∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠B₁AC=∠ADO，
∵在△ACB₁和△DOA中，
，
∴△ACB₁≌△DOA（AAS），
∴AC=OD=4，B₁C=OA=2，
∴OC=OA+AC=6，
∴點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為：（-6，2）；
同理：點(diǎn)B₂的坐標(biāo)為：（4，-2）；
綜上：點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-6，2），（4，-2）；

（3）PN=PD+BN．
如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，
由折疊的性質(zhì)可得：AD=A′D，AB=A′B，
∵AD=AB，
∴AD=AB=A′D=A′B，
∴四邊形ABA′D是菱形，
∵∠DAB=90°，
∴菱形ABA′D是正方形，
∴DE=BE=BD，∠A′BN=45°，
∵M(jìn)N⊥BD，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴MN=BN，
∵PM⊥PA，
∴∠APE+∠MPN=90°，
∵∠APE+∠PAE=90°，
∴∠PAE=∠MPN，
∵在△APE和△PMN中，
，
∴△APE≌△PMN（AAS），
∴PE=MN，
∴PE=BN，
∴PN=PE+EN=BN+EN=BE，PD+PE=PD+BN=DE，
∴PN=PD+BN．
分析：（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求得a與b的值，繼而求得A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得△ACB₁≌△DOA，繼而求得答案；
（3）首先過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，易證得四邊形ABA′D是正方形，△APE≌△PMN，繼而證得PN=PD+BN．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．