Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=10，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q、D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．
（1）求AQ和CD的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）連接DQ、CQ，以CD為對(duì)角線作平行四邊形CQDP，在點(diǎn)Q、D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得平行四邊形CQDP成為菱形？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由題意表示出BQ，根據(jù)AB-BQ表示出AQ即可；在直角三角形ABC中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長(zhǎng)，由AC-AD表示出CD的長(zhǎng)即可；
（2）存在某一時(shí)刻t，使得平行四邊形CQDP成為菱形，理由為：連接PQ，交CD于點(diǎn)E，假設(shè)平行四邊形CQDP為菱形，則有PQ垂直于CD，且DE=CE，在直角三角形AEQ中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到AE=

1

2

AQ，進(jìn)而確定出AE=CD，由AE-AD表示出DE，根據(jù)CD=2DE表示出CD，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：（1）∵BQ=2t，
∴AQ=AB-BQ=10-2t；                        
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=5，
∴CD=5-t；                    
（2）存在，理由如下：
連接PQ，交CD于點(diǎn)E，如圖所示：

∵平行四邊形CQDP是菱形，
∴PQ⊥CD，DE=CE，
在Rt△AEQ中，∠A=60°，
∴∠AQE=30°，
∴AE=

1

2

AQ=5-t=CD，
∴DE=AE-AD=5-2t，
∴CD=2DE=10-4t，
∴10-4t=5-t，
解得：t=

5

3

，
則存在t=

5

3

，使得平行四邊形CQDP成為菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：含30度直角三角形的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．