Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，點G是線段AC上的一動點（點G不與A、C重合），以AG為直徑的⊙O交AB于點D，直線EF垂直平分BD，垂足為F，EF交BC于點E，連結(jié)DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若cosA=

1

2

，AB=8

3

，AG=2

3

，求BE的長；
（3）若cosA=

1

2

，AB=8

3

，直接寫出線段BE的取值范圍．

Answer 1

考點：切線的判定,解直角三角形

專題：證明題,幾何綜合題

分析：（1）連接OD，根據(jù)互余得∠A+∠B=90°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得ED=EB，則∠B=∠EDB，加上∠A=∠ODA，所以∠ODA+∠EDB=90°，利用平角的定義得∠ODE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；
（2）連接GD，根據(jù)圓周角定理由AG為直徑得∠ADG=90°，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得∠A=60°，則∠AGD=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，得AD=

1

2

AG=

3

，則BD=AB-AD=7

3

，所以BF=

1

2

BD=

7 3

2

，在Rt△BEF中，可計算出EF=

3

3

BF=

7

2

，BE=2EF=7；
（3）由于∠A=60°，則∠B=30°，所以AC=

1

2

AB=4

3

，由（2）得AD=

1

2

AG，所以BF=

1

2

（AB-AD）=4

3

-

1

4

AG，在Rt△BEF中，EF=

3

3

BF，BE=2EF=

2 3

3

BF=

2 3

3

（4

3

-

1

4

AG）=8-

3

6

AG，利用0＜AG＜AC即可得到6＜BE＜8．

解答：（1）證明：連接OD，如圖，
∵△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵直線EF垂直平分BD，
∴ED=EB，
∴∠B=∠EDB，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接GD，
∵AG為直徑，
∴∠ADG=90°，
∵cosA=

1

2

，
∴∠A=60°，
∴∠AGD=30°，
∴AD=

1

2

AG=

3

，
∵AB=8

3

，
∴BD=AB-AD=8

3

-

3

=7

3

，
∵直線EF垂直平分BD，
∴BF=

1

2

BD=

7 3

2

，
在Rt△BEF中，∠B=30°，
∴EF=

3

3

BF=

7

2

，
∴BE=2EF=7；

（3）解：∵cosA=

1

2

，
∴∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=4

3

，
由（2）得AD=

1

2

AG，
BF=

1

2

（AB-AD）=4

3

-

1

4

AG，
在Rt△BEF中，∠B=30°，
∴EF=

3

3

BF，
∴BE=2EF=

2 3

3

BF=

2 3

3

（4

3

-

1

4

AG）=8-

3

6

AG，
∵0＜AG＜AC，即0＜AG＜4

3

，
∴6＜BE＜8．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．