Question

如圖，一次函數(shù)y=-2x的圖象與二次函數(shù)y=-x²+3x圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B．已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y=-x²+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)．若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，可知C（a，0），以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，分為∠CDP=90°和∠DCP=90°兩種情況，分別求P點(diǎn)坐標(biāo)即可．
解答：解：設(shè)D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，
∴C（a，0），
∴OC：OD=1：2，
∴OD=2a，OC=a，
根據(jù)勾股定理可得：CD==a．
∵以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，
①當(dāng)∠CDP=90°時(shí)，若PD：DC=OC：OD=1：2，則PD=a，
設(shè)P的橫坐標(biāo)是x，則P點(diǎn)縱坐標(biāo)是-x²+3x，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則P的坐標(biāo)是：（，），
②當(dāng)∠CDP=90°時(shí)，若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
③當(dāng)∠DCP=90°時(shí)，若PC：DC=OC：OD=1：2，則P（，），
④當(dāng)∠DCP=90°時(shí)，若DC：PD=OC：OD=1：2，則P（，）．
故答案為：（，），（2，2），（，），（，）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的相交問題、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．