Question

已知：如圖，矩形ABCD中，AD=4cm，AB=8cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF．求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：首先由折疊的性質(zhì)知BE=ED，∠BEG=∠DEG，可得△BDE是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BG=GD，BD⊥EF，再在Rt△CBD中，利用勾股定理算出BD的長(zhǎng)，再在Rt△ADE中利用勾股定理計(jì)算出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得到EB的長(zhǎng)，再次利用勾股定理計(jì)算出EG的長(zhǎng)，然后證明△EBG≌△FGD，繼而得到GF=EG，從而得到EF的長(zhǎng)．

解答：解：連接BD，交EF于點(diǎn)G，
由折疊的性質(zhì)知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
則△BDE是等腰三角形，
∵∠BEG=∠DEG，
∴BG=GD，BD⊥EF（頂角的平分線(xiàn)是底邊上的高，是底邊上的中線(xiàn)），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AD=BC=4cm，AB=DC=8cm，
在Rt△CBD中，BD=

DC2+CB2

=

64+16

=4

5

，
∵BG=DG，
∴DG=

1

2

DB=2

5

，
設(shè)AE=x，則DE=BE=8-x，
在Rt△ADE中：AE²+AD²=DE²，
則x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
則ED=EB=8-3=5，
在Rt△EBG中：EG²+BG²=EB²，
EG=

25-20

=

5

，
∵BD⊥EF，
∴∠DGF=∠EGB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBG=∠GDF，
在△EBG和△FGD中

∠EBG=∠FDG ∠EGB=∠FGD BG=DG

，
∴△EBG≌△FGD（AAS），
∴GF=EG=

5

，
∴EF=2

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了折疊的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．