Question

（1）如圖①，若AD⊥BD，AE⊥CE，且BD，CE分別平分△ABC的兩個(gè)外角，試探索線段DE與△ABC的三條邊AB、BC、AC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖②，若DB、CE是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角平分線，（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，說(shuō)明理由；如果不成立，試寫出所包含的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)AD交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由條件可證明AB=BG，AC=CH，結(jié)合中位線定理可得出DE=

1

2

GH，可找到DE與AB、BC、AC之間的關(guān)系；
（2）結(jié)論不成立，同樣的方法可找到DE與AB、AC、BC之間的關(guān)系．

解答：解：（1）DE=

1

2

（AB+AC+BC），理由如下：
如圖1，延長(zhǎng)AD交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵BD平分∠ABG，AD⊥BD，
∴BA=BG，同理AC=CH，
∴D、E分別為AG、AH的中點(diǎn)，
∴DE為△AGH的中位線，
∴DE=

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2

GH，
又∵GH=GB+BC+CH=AB+BC+AC，
∴DE=

1

2

（AB+BC+AC）；
（2）不成立，此時(shí)DE=

1

2

（AB+AC-BC），理由如下：
如圖2，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)H，

同（1）的方法可得到BH=AB，CG=AC，且DE=

1

2

GH，
∴DE=

1

2

（AB+AC-BC）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)及三角形中位線定理，由條件構(gòu)造等腰三角形再利用三角形中位線定理找到DE與AB、AC、BC的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．