Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DF是斜邊AB的垂直平分線，分別交邊AB、AC及BC的延長線于點(diǎn)D、E、F，連接BE．
（1）求BE的長；
（2）求cos∠DFB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，根據(jù)勾股定理可得AB=10，AC=4，設(shè)BE為x，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=x，AD=BD=5，則CE=8-x，在Rt△CBE中，再一次使用勾股定理可解出x．即可求出BE的長；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠DFB=∠A，在Rt△ABC中利用余弦函數(shù)的定義求出cos∠A即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
設(shè)BE為x，
又∵DF是斜邊AB的垂直平分線，分別交邊AB、AC于點(diǎn)D、E，
∴AE=BE=x，AD=BD=5，
∴CE=8-x，
在Rt△BCE中，（8-x）²+6²=x²，
解之x=

25

4

，
即BE=

25

4

；

（2）在Rt△CEF中，∵∠DFB+∠ECF+∠CEF=180°，
在Rt△ADE中，∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，
又∵∠ECF=∠ADE=90°，∠CEF=∠AED，
∴∠DFB=∠A．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴cos∠A=

AC

AB

=

8

10

=

4

5

．

點(diǎn)評：此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．也考查了勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)的定義．