(1)問題探究
數(shù)學(xué)課上,李老師給出以下命題,要求加以證明.
如圖1,在△ABC中,M為BC的中點(diǎn),且MA=BC,求證∠BAC=90°.
同學(xué)們經(jīng)過思考、討論、交流,得到以下證明思路:
思路一 直接利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理…
思路二 延長AM到D使DM=MA,連接DB,DC,利用矩形的知識(shí)…
思路三 以BC為直徑作圓,利用圓的知識(shí)…
思路四…
請(qǐng)選擇一種方法寫出完整的證明過程;
(2)結(jié)論應(yīng)用
李老師要求同學(xué)們很好地理解(1)中命題的條件和結(jié)論,并直接運(yùn)用(1)命題的結(jié)論完成以下兩道題:
①如圖2,線段AB經(jīng)過圓心O,交⊙O于點(diǎn)A,C,點(diǎn)D在⊙O上,且∠DAB=30°,OA=a,OB=2a,求證:直線BD是⊙O的切線;
②如圖3,△ABC中,M為BC的中點(diǎn),BD⊥AC于D,E在AB邊上,且EM=DM,連接DE,CE,如果∠A=60°,請(qǐng)求出△ADE與△ABC面積的比值.
(1)問題研究,證明見解析
(2)①證明見解析
②。
【解析】
試題分析:(1)應(yīng)用思路一:根據(jù)條件可以得出BM=CM=MA,由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出∠1=∠B,∠2=∠C,由三角形內(nèi)角和定理就可以求出結(jié)論。
(2)①連接OD,CD,由圓的性質(zhì)就可以得出AO=OD=OC=a,再由條件就可以得出△ODC是等邊三角形,由外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以求出∠BDC=30°,從而得出∠ODB=90°而得出結(jié)論。
②運(yùn)用(1)的結(jié)論可以得出∠ADB=∠ACE=90°,從而有△ADB∽△AEC,由相似的性質(zhì)可以得出△ADE∽△ABC,由相似三角形的面積之比等于相似比平方,最后由銳角三角形函數(shù)值就可以求出結(jié)論!
解:(1)問題研究,應(yīng)用思路一:
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),∴BM=CM=BC。
∵M(jìn)A=BC,∴BM=CM=MA。
∴∠1=∠B,∠2=∠C。
∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°,∴2∠1+2∠2=180°。
∴∠1+∠2=90°,即∠BAC=90°。
(2)①證明:連接OD,CD,
∵∠DAB=30°,OA=a,
∴AO=OD=OC=a,∠BOD=2∠A=60°。
∴△ODC是等邊三角形。
∴CD=OC=a,∠DCO=∠CDO=60°。
∵OB=2a,∴BC=a!郆C=DC!唷螧=∠BDC。
∴2∠BDC=60°!唷螧DC=30°!唷螧DO=∠BDC+∠CDO=90°。
∵OD是⊙O的半徑,∴直線BD是⊙O的切線。
②∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),BD⊥AC于D,∴DM=BC。
∵EM=DM,∴EM=BC!唷螧EC=90°!唷螦DB=∠ACE=90°。
∵∠A=∠A,∴△ADB∽△AEC。
∴!。
∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC。∴。
∵cos∠A=,且∠A=60°,∴。∴。
∴△ADE與△ABC面積的比值為。
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解決實(shí)際問題 | 探究 |
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