【題目】等腰直角三角形OAB中,∠OAB90°OAAB,點(diǎn)DOA中點(diǎn),DCOB,垂足為C,連接BD,點(diǎn)M為線段BD中點(diǎn),連接AMCM,如圖①.

1)求證:AMCM

2)將圖①中的OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,連接BD,點(diǎn)M為線段BD中點(diǎn),連接AM、CM、OM,如圖②.

①求證:AMCM,AMCM;

②若AB4,求AOM的面積.

【答案】1)見解析;(2)①見解析,②2

【解析】

1)直接利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,即可得出結(jié)論;

2)①延長(zhǎng)CMOBT,先判斷出△CDM≌△TBM得出CMTM,DCBTOC,進(jìn)而判斷出△OAC≌△BAT,得出ACAT,即可得出結(jié)論;

②先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出再求出OD,DCCO,再用勾股定理得出CT,進(jìn)而判斷出CMAM,得出AMOM,進(jìn)而求出ON,再根據(jù)勾股定理求出MN,即可得出結(jié)論.

解:(1)證明:∵∠OAB90°,

∴△ABD是直角三角形,

∵點(diǎn)MBD的中點(diǎn),

AMBD,

DCOB

∴∠BCD90°,

∵點(diǎn)MBD的中點(diǎn),

CMBD,

AMCM;

2)①如圖②,

在圖①中,∵AOAB,∠OAB90°,

∴∠ABO=∠AOB45°,

DCOB,

∴∠OCD90°

∴∠ODC=∠AOB,

OCCD,

延長(zhǎng)CMOBT,連接AT,

由旋轉(zhuǎn)知,∠COB90°,DCOB

∴∠CDM=∠TBM,

∵點(diǎn)MBD的中點(diǎn),

DMBM,

∵∠CMD=∠TMB,

∴△CDM≌△TBMASA),

CMTM,DCBTOC,

∵∠AOC=∠BOC﹣∠AOB45°=∠ABO

AOAB,

∴△OAC≌△BATSAS),

ACAT,∠OAC=∠BAT,

∴∠CAT=∠OAC+OAT=∠BAT+OAT=∠OAB90°,

∴△CAT是等腰直角三角形,

CMTM,

AMCM,AMCM

②如圖③,在RtAOB中,AB4,

OA4,OB=AB4

在圖①中,點(diǎn)DOA的中點(diǎn),

ODOA2,

∵△OCD是等腰直角三角形,

DCCOODsin45°=,

由①知,BTCD,

BT,

OTOBTB3

RtOTC中,CT2,

CMTMCTAM,

OMRtCOT的斜邊上的中線,

OMCT

AMOM,

過點(diǎn)MMNOAN,則ONANOA2,

根據(jù)勾股定理得,MN1

SAOMOAMN×4×12

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過ABC的三個(gè)頂點(diǎn),其中點(diǎn)A0,1),點(diǎn)B﹣9,10),ACx軸,點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

1)求拋物線的解析式;(2)過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)EF,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、PQ為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求證:ACBD;

(2)求扣鏈EF與立桿AB的夾角OEF的度數(shù)(精確到0.1°);

(3)小紅的連衣裙穿在衣架后的總長(zhǎng)度達(dá)到122cm,垂掛在曬衣架上是否會(huì)拖落到地面?請(qǐng)通過計(jì)算說明理由.

(參考數(shù)據(jù):sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan61.9°≈0.553;可使用科學(xué)計(jì)算器)

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1)求直線BC的解析式.

2)在圖①中,過點(diǎn)Ax軸的垂線交直線CB于點(diǎn)D,若動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿射線AB方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),直線MN與直線AD交于點(diǎn)S,如圖②,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)△DSN≌△BOC時(shí),求t的值.

3)若點(diǎn)M是直線AB在第二象限上的一點(diǎn),點(diǎn)N、P分別在直線BC、直線AD上,是否存在以M、B、NP為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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1)求直線的解析式;

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3)求的面積;

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