【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=﹣x+2x軸、y軸分別交于AB兩點(diǎn),直線BCx軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,∠BCA30°,如圖①.

1)求直線BC的解析式.

2)在圖①中,過點(diǎn)Ax軸的垂線交直線CB于點(diǎn)D,若動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿射線AB方向以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),直線MN與直線AD交于點(diǎn)S,如圖②,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)△DSN≌△BOC時(shí),求t的值.

3)若點(diǎn)M是直線AB在第二象限上的一點(diǎn),點(diǎn)NP分別在直線BC、直線AD上,是否存在以M、B、NP為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)yx+2;(2)t秒或t+4秒時(shí),△DSN≌△BOC;(3)M+4)或M)或M).

【解析】

1)求出B,C的坐標(biāo),由待定系數(shù)法可求出答案;

2)分別過點(diǎn)M,NMQx軸,NPx軸,垂足分別為點(diǎn)Q,P.分兩種情況:(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí),由DSBO2,可得出t的方程,解得t的值即可得出答案;

3)設(shè)點(diǎn)Ma,﹣a+2),Nb,),P2,c),點(diǎn)B02),分三種情況:(Ⅰ)當(dāng)以BM,BP為鄰邊構(gòu)成菱形時(shí),(Ⅱ)當(dāng)以BP為對(duì)角線,BM為邊構(gòu)成菱形時(shí),(Ⅲ)當(dāng)以BM為對(duì)角線,BP為邊構(gòu)成菱形時(shí),由菱形的性質(zhì)可得出方程組,解方程組即可得出答案.

解:(1)∵直線y=﹣x+2x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),

x0時(shí),y2,y0時(shí),x2,

A2,0),B02),

OBAO2

RtCOB中,∠BOC90°,∠BCA30°,

OC2,

C(﹣2, 0),

設(shè)直線BC的解析式為ykx+b,代入B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得,

,

kb2,

∴直線BC的解析式為yx+2;

2)分別過點(diǎn)M,NMQx軸,NPx軸,垂足分別為點(diǎn)Q,P

(Ⅰ)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),

CN2t,AMtOBOA2,∠BOA=∠BOC90°,

∴∠BAO=∠ABO45°

∵∠BCO30°,

NPMQt,

MQx軸,NPx軸,

∴∠NPQ=∠MQA90°,NPMQ,

∴四邊形NPQM是矩形,

NSx軸,

ADx軸,

ASMQy軸,

∴四邊形MQAS是矩形,

ASMQNPt,

NSx軸,ASMQy軸,

∴∠DNS=∠BCO,∠DSN=∠DAO=∠BOC90°,

∴當(dāng)DSBO2時(shí),

DSN≌△BOCAAS),

D2+2),

DS+2t

+2t2,

t(秒);

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖2,

同理可得,當(dāng)DSBO2時(shí),△DSN≌△BOCAAS),

DSt﹣(+2),

t﹣(+2)=2,

t+4(秒),

綜合以上可得,t秒或t+4秒時(shí),△DSN≌△BOC

3)存在以M、B、NP為頂點(diǎn)的四邊形是菱形:

M(﹣22,2+4)或M(﹣24,2+6)或M(﹣2+22).

M是直線AB在第二象限上的一點(diǎn),點(diǎn)N,P分別在直線BC,直線AD上,

∴設(shè)點(diǎn)Ma,﹣a+2),Nb, b+2),P2,c),點(diǎn)B0,2),

(Ⅰ)當(dāng)以BMBP為鄰邊構(gòu)成菱形時(shí),如圖3,

∵∠CBO60°,∠OBA=∠OAB=∠PAF45°,

∴∠DBA=∠MBN=∠PBN75°

∴∠MBE45°,∠PBF30°,

MBME,PFAPPB2PFAP,

∵四邊形BMNP是菱形,

,

解得,a=﹣22,

M(﹣222+4)(此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合),

(Ⅱ)當(dāng)以BP為對(duì)角線,BM為邊構(gòu)成菱形時(shí),如圖4,

過點(diǎn)BEFx軸,MEEF,NFEF,

同(Ⅰ)可知,∠MBE45°,∠NBF30°,

由四邊形BMNP是菱形和BMBN得:

,

解得:a=﹣24

M(﹣24,2+6),

(Ⅲ)當(dāng)以BM為對(duì)角線,BP為邊構(gòu)成菱形時(shí),如圖5,

NEy軸,BFAD,

∴∠BNE30°,∠PBF60°,

由四邊形BMNP是菱形和BNBP得,

,

解得:a=﹣2+2,

M(﹣2+22).

綜合上以得出,當(dāng)以MBNP為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為:

M(﹣222+4)或M(﹣24,2+6)或M(﹣2+22).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(問題解決)(1)李清同學(xué)分析題目后,發(fā)現(xiàn)以PAPB、PC的長為邊的三角形是直角三角形,他找到了正確的思路:如圖2,將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到BP′A.連接PP′,易得P′PB是等邊三角形,P′PA是直角三角形,則得∠BPP′_________,∠APB_________

(問題類比)(2)同組的祁響同學(xué)突然想起曾經(jīng)解決過的一個(gè)問題:如圖3,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA=1,PB=2,PC=3.求∠APB的度數(shù).請(qǐng)你寫出解答過程.

(問題延伸)(3)夏老師留了一個(gè)思考題:如圖4,若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn),PA=,PB=1PC=.則∠APB的度數(shù).請(qǐng)你寫出解答過程.

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星期

與計(jì)劃量的差值

(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知前三天共賣出 ______ 斤;

(2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售 ______ 斤;

(3)本周實(shí)際銷售總量達(dá)到了計(jì)劃數(shù)量沒有?

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1)求證:AMCM;

2)將圖①中的OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,連接BD,點(diǎn)M為線段BD中點(diǎn),連接AM、CM、OM,如圖②.

①求證:AMCM,AMCM;

②若AB4,求AOM的面積.

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3)求三角形的面積.

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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