Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線BC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，∠BCA＝30°，如圖①．

（1）求直線BC的解析式．

（2）在圖①中，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交直線CB于點(diǎn)D，若動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，直線MN與直線AD交于點(diǎn)S，如圖②，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△DSN≌△BOC時(shí)，求t的值．

（3）若點(diǎn)M是直線AB在第二象限上的一點(diǎn)，點(diǎn)N、P分別在直線BC、直線AD上，是否存在以M、B、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2），t＝秒或t＝+4秒時(shí)，△DSN≌△BOC；（3）M（+4）或M（）或M（）．

【解析】

（1）求出B，C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求出答案；

（2）分別過(guò)點(diǎn)M，N作MQ⊥x軸，NP⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)Q，P．分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由DS＝BO＝2，可得出t的方程，解得t的值即可得出答案；

（3）設(shè)點(diǎn)M（a，﹣a+2），N（b，），P（2，c），點(diǎn)B（0，2），分三種情況：（Ⅰ）當(dāng)以BM，BP為鄰邊構(gòu)成菱形時(shí)，（Ⅱ）當(dāng)以BP為對(duì)角線，BM為邊構(gòu)成菱形時(shí)，（Ⅲ）當(dāng)以BM為對(duì)角線，BP為邊構(gòu)成菱形時(shí)，由菱形的性質(zhì)可得出方程組，解方程組即可得出答案．

解：（1）∵直線y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

∴x＝0時(shí)，y＝2，y＝0時(shí)，x＝2，

∴A（2，0），B（0，2），

∴OB＝AO＝2，

在Rt△COB中，∠BOC＝90°，∠BCA＝30°，

∴OC＝2，

∴C（﹣2， 0），

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，代入B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得，

，

∴k＝，b＝2，

∴直線BC的解析式為y＝x+2；

（2）分別過(guò)點(diǎn)M，N作MQ⊥x軸，NP⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)Q，P．

（Ⅰ）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

∵CN＝2t，AM＝t，OB＝OA＝2，∠BOA＝∠BOC＝90°，

∴∠BAO＝∠ABO＝45°，

∵∠BCO＝30°，

∴NP＝MQ＝t，

∵MQ⊥x軸，NP⊥x軸，

∴∠NPQ＝∠MQA＝90°，NP∥MQ，

∴四邊形NPQM是矩形，

∴NS∥x軸，

∵AD⊥x軸，

∴AS∥MQ∥y軸，

∴四邊形MQAS是矩形，

∴AS＝MQ＝NP＝t，

∵NS∥x軸，AS∥MQ∥y軸，

∴∠DNS＝∠BCO，∠DSN＝∠DAO＝∠BOC＝90°，

∴當(dāng)DS＝BO＝2時(shí)，

△DSN≌△BOC（AAS），

∵D（2， +2），

∴DS＝+2﹣t，

∴+2﹣t＝2，

∴t＝（秒）；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，

同理可得，當(dāng)DS＝BO＝2時(shí)，△DSN≌△BOC（AAS），

∵DS＝t﹣（+2），

∴t﹣（+2）＝2，

∴t＝+4（秒），

綜合以上可得，t＝秒或t＝+4秒時(shí)，△DSN≌△BOC．

（3）存在以M、B、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形：

M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．

∵M是直線AB在第二象限上的一點(diǎn)，點(diǎn)N，P分別在直線BC，直線AD上，

∴設(shè)點(diǎn)M（a，﹣a+2），N（b， b+2），P（2，c），點(diǎn)B（0，2），

（Ⅰ）當(dāng)以BM，BP為鄰邊構(gòu)成菱形時(shí)，如圖3，

∵∠CBO＝60°，∠OBA＝∠OAB＝∠PAF＝45°，

∴∠DBA＝∠MBN＝∠PBN＝75°，

∴∠MBE＝45°，∠PBF＝30°，

∴MB＝ME，PF＝AP，PB＝2PF＝AP，

∵四邊形BMNP是菱形，

∴，

解得，a＝﹣2﹣2，

∴M（﹣2﹣2，2+4）（此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合），

（Ⅱ）當(dāng)以BP為對(duì)角線，BM為邊構(gòu)成菱形時(shí)，如圖4，

過(guò)點(diǎn)B作EF∥x軸，ME⊥EF，NF⊥EF，

同（Ⅰ）可知，∠MBE＝45°，∠NBF＝30°，

由四邊形BMNP是菱形和BM＝BN得：

，

解得：a＝﹣2﹣4，

∴M（﹣2﹣4，2+6），

（Ⅲ）當(dāng)以BM為對(duì)角線，BP為邊構(gòu)成菱形時(shí)，如圖5，

作NE⊥y軸，BF⊥AD，

∴∠BNE＝30°，∠PBF＝60°，

由四邊形BMNP是菱形和BN＝BP得，

，

解得：a＝﹣2+2，

∴M（﹣2+2，2）．

綜合上以得出，當(dāng)以M、B、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．