Question

如圖，已知AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O．
（1）問(wèn)題探究：線段OB，OC有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）問(wèn)題拓展：分別連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）問(wèn)題延伸：將題目條件中的“CD⊥AB于D，BE⊥AC于E”換成“D、E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)”，（1）（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)垂直定義求出∠ADC=∠AEB=90°，根據(jù)AAS推出△ADC≌△AEB，根據(jù)全等得出AD=AE，∠B=∠C，求出BD=CE，根據(jù)AAS推出△BDO≌△CEO即可；
（2）延長(zhǎng)AO交BC于M，根據(jù)SAS推出△OBA≌△OCA，根據(jù)全等得出∠BAO=∠CAO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出即可；
（3）求出AD=AE，BD=CE，根據(jù)SAS推出△ADC≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠DBO=∠ECO，根據(jù)AAS推出△BDO≌△CEO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OB=OC，根據(jù)SAS推出△OBA≌△OCA，推出∠BAO=∠CAO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△ADC和△AEB中，

∠ADC=∠AEB ∠A=∠A AC=AB

，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD=AE，∠B=∠C，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
在△BDO和△CEO中，

∠BOD=∠COE ∠B=∠C BD=CE

，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OB=OC；

（2）AO⊥BC，
理由是：延長(zhǎng)AO交BC于M，
在△OBA和△OCA中，

OB=OC ∠OBA=∠OCA AB=AC

，
∴△OBA≌△OCA（SAS），
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC；

（3）（1）（2）中的結(jié)論還成立，
理由是：∵D、E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，AC=AB，
∴AD=AE，BD=CE，
在△ADC和△AEB中，

AD=AE ∠DAC=∠EAB AC=AB

，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠DBO=∠ECO，
在△BDO和△CEO中，

∠DOB=∠EOC ∠DBO=∠ECO BD=CE

，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OB=OC，
在△OBA和△OCA中，

OB=OC ∠OBA=∠OCA AB=AC

，
∴△OBA≌△OCA（SAS），
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ACD≌△BCE和△CME≌△CND，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．