Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，AD為弦，OC∥AD．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若OA=2，求AD•OC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接OD，由OC∥AD，易證得△COD≌△COB，又由BC是⊙O的切線，易證得OD⊥CD，即可得DC是⊙O的切線；
（2）易得△BAD∽△COB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得AD•OC的值．

解答：（1）證明：連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OB=OD，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°，
∵OC∥AD，
∴∠A=∠COB，∠ODA=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠COD=∠COB，
在△COD和△COB中，

OC=OC ∠COD=∠BOC OD=OB

，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥CD，
∴DC是⊙O的切線；

（2）連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠OBC=90°，
∵∠BOC=∠A，
∴△BAD∽△COB，
∴

BA

CO

=

AD

OB

，
∴AD•CO=BA•OB，
∵OA=2，
∴BA=2OA=4，OB=2，
∴AD•CO=BA•OB=8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．