Question

如圖，⊙O的半徑為1，正方形ABCD頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0），頂點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A、O在同一條直線上時(shí)，試證明直線CD與⊙O相切；
（2）當(dāng)直線CD與⊙O相切時(shí)，求CD所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，正方形ABCD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得∠ODC=90°，且CD與圓相交于點(diǎn)D，故直線CD與⊙O相切；
（2）分兩種情況，1、D₁點(diǎn)在第二象限時(shí)，2、D₂點(diǎn)在第四象限時(shí)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得比例關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)可得CD所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；
（3）設(shè)D（x，y），有S=BD²=（26-10x）=13-5x；再根據(jù)x的范圍可得面積的最大最小值．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD⊥CD，
∵A、O、D在同一條直線上，
∴∠ODC=90°，
∴直線CD與⊙O相切．

（2）解：直線CD與⊙O相切分兩種情況：
①如圖1，設(shè)D₁點(diǎn)在第二象限時(shí)，
過D₁作D₁E₁⊥x軸于點(diǎn)E₁，設(shè)此時(shí)的正方形的邊長(zhǎng)為a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽R(shí)t△D₁OE₁
∴，
∴，
∴．
∴直線OD的函數(shù)關(guān)系式為．
∵AD₁⊥CD₁，
∴設(shè)直線CD₁的解析式為y=x+b，
把D₁（-，）代入解析式得b=；
∴函數(shù)解析式為y=x+．
②如圖2，設(shè)D₂點(diǎn)在第四象限時(shí)，過D₂作D₂E₂⊥x軸于點(diǎn)E₂，
設(shè)此時(shí)的正方形的邊長(zhǎng)為b，則（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽R(shí)t△D₂OE₂，
∴，
∴，
∴，
∴直線OD的函數(shù)關(guān)系式為．
∵AD₂⊥CD₂，
∴設(shè)直線CD₂的解析式為y=x+b，
把D₂（，-）代入解析式得b=-；
∴函數(shù)解析式為y=x-．

（3）解：設(shè)D（x，y），
∴，
∵B（5，0），
∴，
∴S=BD²=（26-10x）=13-5x，
∵-1≤x≤1，
∴S_最大值=13+5=18，S_最小值=13-5=8．
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，要求學(xué)生有較強(qiáng)的綜合分析能力及數(shù)形結(jié)合分析解決問題的能力．