Question

如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為(－3，0)、(0，3)．

(1)一次函數(shù)圖像上的兩點P、0在直線AB的同側，且直線PQ與y軸交點的縱坐標大于3，若△PAB與△QAB的面積都等于3，求這個一次函數(shù)的解析式；

(2)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A、B，其頂點C在x軸的上方且在直線PQ上，求這個二次函數(shù)的解析式；

(3)若使(2)中所確定的拋物線的開口方向不變，頂點C在直線PQ上運動，當點C運動到點時，拋物線在x軸上截得的線段長為6，求點的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(見模答圖) 　　(1)由已知不妨設直線PQ與x軸、y軸的交點分別為P、Q，連結PB、QA． 　　∵S△QAB＝3， 　　即BQ·AO＝3． 　　而AO＝3，可求得BQ＝2． 　　∵直線PQ與y軸交點的縱坐標大于3， 　　∴點Q的坐標為(0，5)． 　　同樣可求得PA＝2． 　　∵P、Q兩點在直線AB的同側， 　　∴點P的坐標為(－5，0)． 　　設直線PQ的解析式為y＝kx＋b，則有 　　 　　解得 　　因此所求一次函數(shù)的解析式為 　　y＝x＋5． 　　(2)設二次函數(shù)的解析式為 　　y＝ax2＋bx＋c． 　　∵二次函數(shù)的圖像過A(－3，0)，B(0，3)兩點， 　　∴ 　　將②代入①，解得 　　b＝3a＋1． 　　于是二次函數(shù)的解析式為 　　y＝ax2＋(3a＋1)x＋3． 　　其頂點C的坐標為 　　(－，)． 　　∵點C在直線y＝x＋5上， 　　∴＝－＋5． 　　整理得9a2＋8a－1＝0． 　　解這個方程，得 　　a1＝，a2＝－1． 　　經(jīng)檢驗，a1＝，a2＝－1都是原方程的根． 　　但拋物線的頂點C在x軸的上方，且過A、B兩點，所以拋物線開口向下，因此將a＝舍去，取a＝－1．∴b＝－2． 　　∴所求二次函數(shù)的解析式為 　　 y＝－x2－2x＋3． 　　(3)[方法一] 　　設點的橫坐標為m．由于在直線y＝x＋5上，可求出點的縱坐標為m＋5，即點的坐標為(m，m＋5)，則運動后以為頂點的拋物線的解析式為 　　y＝－(x－m)2＋m＋5． 　　設運動后的拋物線在對稱軸右側與x軸交點的橫坐標為x0．由已知，有 　　x0＝m＋3． 　　即拋物線與x軸的一個交點的坐標為(m＋3，0)． 　　∴0＝－(m＋3－m)2＋m＋5． 　　解得m＝4． 　　∴m＋5＝9． 　　于是點的坐標為(4，9)． 　　[方法二] 　　同方法一求得以為頂點的拋物線的解析式為 　　y＝－(x－m)2＋m＋5， 　　即　　y＝－x2＋2mx－m2＋m＋5． 　　設這條拋物線與x軸的交點為(x1，0)、(x2，0)． 　　∴x1＋x2＝2m，x1·x2＝m2－m－5． 　　由已知|x1－x2|＝6， 　　則(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝36． 　　即(2m)2－4(m2－m－5)＝36． 　　解得m＝4． 　　∴m＋5＝9． 　　于是點的坐標為(4，9)．