Question

4．如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到∠BAC的平分線與BC的交點(diǎn)位置時(shí)（如圖2），若BC=12，求DE的長；
（2）結(jié)合圖1，猜想DE、DF與BC三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=30°．BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6，在Rt△BDE中，∠B=30°，得出DE=$\frac{1}{2}$BD=3即可．
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=30°．求出DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$CD，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6
∵在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=3．
（2）猜想：DE+DF=$\frac{1}{2}$BC．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$（BD+CD），
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$BC．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．