Question

（2013年浙江義烏10分）小明合作學(xué)習(xí)小組在探究旋轉(zhuǎn)、平移變換．如圖△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（， 0），F(xiàn)（，）．
（1）他們將△ABC繞C點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)45⁰得到△A₁B₁C．請你寫出點(diǎn)A₁，B₁的坐標(biāo)，并判斷A₁C和DF的位置關(guān)系；
（2）他們將△ABC繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)45⁰，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個頂點(diǎn)落在拋物線上．請你求出符合條件的拋物線解析式；
（3）他們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)將△ABC繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45，若旋轉(zhuǎn)后的三角形恰好有兩個頂點(diǎn)落在拋物線上，則可求出旋轉(zhuǎn)后三角形的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．請你直接寫出點(diǎn)P的所有坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）。
A₁C和DF的位置關(guān)系是平行。
（2）∵△ABC繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后的三角形即為△DEF，
∴①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、E時，根據(jù)題意可得：，解得。
∴。
②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、F時，根據(jù)題意可得：，解得。
∴。
③當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)E、F時，根據(jù)題意可得：，解得。
∴。
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，可能有以下情形：
①順時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)A、B落在拋物線上，如答圖1所示，
易求得點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，）。
②順時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)B、C落在拋物線上，如答圖2所示，
設(shè)點(diǎn)B′，C′的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
易知此時B′C′與一、三象限角平分線平行，∴設(shè)直線B′C′的解析式為y=x+b。
聯(lián)立y=x²與y=x+b得：x²=x+b，即，∴。
∵B′C′=1，∴根據(jù)題意易得：，∴，即。
∴，解得。
∴，解得x或。
∵點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)較小，∴。
當(dāng)時，。
∴P（，）。
③順時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)C、A落在拋物線上，如答圖3所示，
設(shè)點(diǎn)C′，A′的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂．
易知此時C′A′與二、四象限角平分線平行，∴設(shè)直線C′A′的解析式為。
聯(lián)立y=x²與得：，即，∴。
∵C′A′=1，∴根據(jù)題意易得：，∴，即。
∴，解得。
∴，解得x或。
∵點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)較大，∴。
當(dāng)時，。
∴P（，）。
④逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)A、B落在拋物線上．
因?yàn)槟鏁r針旋轉(zhuǎn)45°后，直線A′B′與y軸平行，因?yàn)榕c拋物線最多只能有一個交點(diǎn)，故此種情形不存在。
⑤逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)B、C落在拋物線上，如答圖4所示，
與③同理，可求得：P（，）。
⑥逆時針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)C、A落在拋物線上，如答圖5所示，
與②同理，可求得：P（，）。
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，），（，），P（，，（，）。

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及等腰直角三角形邊角關(guān)系求解。
（2）首先明確△ABC繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后的三角形即為△DEF，然后分三種情況進(jìn)行討論，分別計(jì)算求解。
（3）旋轉(zhuǎn)方向有順時針、逆時針兩種可能，落在拋物線上的點(diǎn)有點(diǎn)A和點(diǎn)B、點(diǎn)B和點(diǎn)C、點(diǎn)C和點(diǎn)D三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論，避免漏解。