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如圖，已知拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C

（1）求拋物線的函數解析式．
（2）設點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標．
（3）P是拋物線上第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），
將點A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：
，解得：。
∴函數解析式為：y=x2+2x。
（2）當AO為平行四邊形的邊時，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，
若D在對稱軸直線x=﹣1左側，則D橫坐標為﹣3，代入拋物線解析式得D1（﹣3，3）；
若D在對稱軸直線x=﹣1右側，則D橫坐標為1，代入拋物線解析式得D2（1，3）。
綜上所述，點D的坐標為：（﹣3，3）或（1，3）。
（3）存在。
如圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），

根據勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20
∴BO2+CO2=BC2�！唷鰾OC是直角三角形。
假設存在點P，使以P，M，A為頂點的 三角形與△BOC相似，設P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
①若△AMP∽△BOC，則，即。
∴x+2=3（x2+2x），解得：x1=，x2=﹣2（舍去）。
當x=時，y=，即P（，）。
②若△PMA∽△BOC，則，即。
∴x2+2x=3（x+2），解得：x1=3，x2=﹣2（舍去）。
當x=3時，y=15，即P（3，15）。
∴符合條件的點P有兩個，分別是P（，）或（3，15）。

試題分析：（1）由于拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，待定系數法即可求出拋物線的解析式。
（2）根據平行四邊形的性質，對邊平行且相等，可以求出點D的坐標。
（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據相似三角形對應邊的比相等可以求出點P的坐標。
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，平面之間坐標系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動，點C的坐標為（t，0），直角邊AC=4，經過O，C兩點做拋物線（a為常數，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點E，直線OA：y2=kx（k為常數，k＞0）

（1）填空：用含t的代數式表示點A的坐標及k的值：A　   　，k=　   　；
（2）隨著三角板的滑動，當a=時：
①請你驗證：拋物線的頂點在函數的圖象上；
②當三角板滑至點E為AB的中點時，求t的值；
（3）直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當x≥t+4時，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與t的關系式及t的取值范圍．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角體系中，直線AB交x軸于點A（5，0），交y軸于點B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點C，且AC=3。取BO的中點D，連接CD、MD和OC。

（1）求證：CD是⊙M的切線；
（2）二次函數的圖象經過點D、M、A，其對稱軸上有一動點P，連接PD、PM，求△PDM的周長最小時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，當△PDM的周長最小時，拋物線上是否存在點Q，使？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，二次函數的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數y=kx﹣4k（k≠0）的圖象過點P交x軸于點Q．

（1）求該二次函數的解析式；
（2）當點P的坐標為（﹣4，m）時，求證：∠OPC=∠AQC；
（3）點M，N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當點M，N中有一點到達Q點時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．連接AN，當△AMN的面積最大時，
①求t的值；
②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明你的理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

（2013年浙江義烏10分）小明合作學習小組在探究旋轉、平移變換．如圖△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，各頂點坐標分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（， 0），F（，）．
（1）他們將△ABC繞C點按順時針方向旋轉450得到△A1B1C．請你寫出點A1，B1的坐標，并判斷A1C和DF的位置關系；
（2）他們將△ABC繞原點按順時針方向旋轉450，發(fā)現旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上．請你求出符合條件的拋物線解析式；
（3）他們繼續(xù)探究，發(fā)現將△ABC繞某個點旋轉45，若旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上，則可求出旋轉后三角形的直角頂點P的坐標．請你直接寫出點P的所有坐標．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

（2013年四川南充8分）如圖，二次函數y=x2+bx－3b+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，且經過點（b－2，2b2－5b－1）.

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）⊙M過A、B、C三點，交y軸于另一點D，求點M的坐標；
（3）連接AM、DM，將∠AMD繞點M順時針旋轉，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點E、F，若△DMF為等腰三角形，求點E的坐標.

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（﹣1，0）．

（1）求D點的坐標；
（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求∠E的度數；
（3）如圖2，已知點P（﹣4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當∠PMA=∠E時，求點Q的坐標．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運動；點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位沿C→A→B方向的運動，到達點B后立即原速返回，若P、Q兩點同時運動，相遇后同時停止，設運動時間為t秒．

（1）當t=　   　時，點P與點Q相遇；
（2）在點P從點B到點C的運動過程中，當ι為何值時，△PCQ為等腰三角形？
（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，設△PCQ的面積為s平方單位．
①求s與ι之間的函數關系式；
②當s最大時，過點P作直線交AB于點D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，求折疊后的
△APD與△PCQ重疊部分的面積．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y=﹣x2平移后的位置如圖所示，點A，B坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），設平移后的拋物線與y軸交于點C，其頂點為D．

（1）求平移后的拋物線的解析式和點D的坐標；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請證明你的結論；
（3）點P在平移后的拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點P的坐標．

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