Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上，△OBA是等腰直角三角形且AB=，線段PQ=1，線段PQ的端點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿△OBA的邊按O→B→A→O運(yùn)動(dòng)一周，同時(shí)另一端點(diǎn)Q隨之在x軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若P運(yùn)動(dòng)的路程為m，△OPA的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的總路程為______．

Answer 1

【答案】（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，1）；（2）S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為S=m（0＜m≤1），或S=+-m（1＜m＜+1）；（3）2．

【解析】

（1）由△OBA是等腰直角三角形且AB=，得出OA=OB=1，即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在OB邊上時(shí)，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；②當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，作PD⊥OA于D，△APD是等腰直角三角形，則PB=m-1，求出AP的長(zhǎng)，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出PD的長(zhǎng)，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；③當(dāng)點(diǎn)P在AO邊上時(shí)，△OPA不存在；（3）根據(jù)題意正確畫出從O→B→A運(yùn)動(dòng)一周的圖形，分四種情況進(jìn)行計(jì)算：①點(diǎn)P從O→B時(shí)，路程是線段PQ的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)P從B→C時(shí)（QC⊥AB，C為垂足），點(diǎn)Q從O運(yùn)動(dòng)到Q，計(jì)算OQ的長(zhǎng)就是運(yùn)動(dòng)的路程；③點(diǎn)P從C→A時(shí)，點(diǎn)Q由O向左運(yùn)動(dòng)，路程為QO；④點(diǎn)P從A→O時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程就是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程；最后相加即可．

（1）∵△OBA是等腰直角三角形且AB=，

∴OA=OB=1，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，1）；

（2）分三種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P在OB邊上，即0＜m≤1時(shí)，如圖1所示：

△OPA的面積S=OA×OP=×1×m=m；

②當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上，即1＜m＜+1時(shí)，如圖2所示：

作PD⊥OA于D，△APD是等腰直角三角形，

∵PB=m-1，

∴AP=AB-PB=-（m-1）=+1-m，

∴PD=AP=（+1-m）=1+-m，

∴△OPA的面積=OA×PD=×1×（1+-m）= +-m，即S=+-m；

③當(dāng)點(diǎn)P在AO邊上，即+1≤m≤+2時(shí)，△OPA不存在；

綜上所述，S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為S=m（0＜m≤1），或S=+-m（1＜m＜+1）；

（3）∵△OBA是等腰直角三角形，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∵OA=OB=1，PQ=1，

①當(dāng)點(diǎn)P從O→B時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為PQ的長(zhǎng)，即為1；

②如圖3所示，QC⊥AB，則∠ACQ=90°，即PQ運(yùn)動(dòng)到與AB垂直時(shí)，垂足為P，

當(dāng)點(diǎn)P從B→C時(shí)，

∵∠ABO=∠BAO=45°，

∴∠OQC=90°-45°=45°，

∴AQ=PQ=，

∴OQ=AQ-OA=-1，

則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為QO=-1；

③當(dāng)點(diǎn)P從C→A時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為QO=-1；

④當(dāng)點(diǎn)P從A→O時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為AO=1，

∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的總路程為：1+-1+-1+1=2；

故答案為：2．