Question

【題目】在平面直角坐標系中，將一個點（橫坐標與縱坐標不相等）的橫坐標與縱坐標互換后得到的點叫做這個點的“互換點”，如（－3，5）與（5，－3）是一對“互換點”。

（1）任意一對“互換點”________（填“都能”或“都不能”）在一個反比例函數的圖象上；

（2）M、N是一對“互換點”，若點M的坐標為（2，－5），求直線MN的表達式；

（3）在拋物線的圖象上有一對“互換點”A、B，其中點A在反比例函數的圖象上，直線AB經過點P（，），求此拋物線的表達式.

Answer 1

【答案】（1）不一定；（2）y=－x－3；（3）.

【解析】

（1）設這一對“互換點”的坐標為（a，b）和（b，a）．①當ab=0時，它們不可能在反比例函數的圖象上，②當ab≠0時，由b＝可得a＝，于是得到結論；

（2）把M（2，-5），N（-5，2）代入y=cx+d，即可得到結論；

（3）設點A（p，q），則q＝，由直線AB經過點P（，），得到p+q=1，得到q=-1或q=2，將這一對“互換點”代入y=x2+bx+c得，于是得到結論．

（1）不一定，

設這一對“互換點”的坐標為（a，b）和（b，a）．

①當ab=0時，它們不可能在反比例函數的圖象上，

②當ab≠0時，由b＝可得a＝，即（a，b）和（b，a）都在反比例函數y＝（k≠0）的圖象上；

（2）由M（2，-5）得N（-5，2），設直線MN的表達式為y=cx+d（c≠0）．

則有

解得，，

∴直線MN的表達式為y=-x-3；

（3）設點A（p，q），則q＝，

∵直線AB經過點P（，），由（2）得＝+p+q，

∴p+q=1，

∴p＝1，

解并檢驗得：p=2或p=-1，

∴q=-1或q=2，

∴這一對“互換點”是（2，-1）和（-1，2），

將這一對“互換點”代入y=x2+bx+c得，

∴，解得，

∴此拋物線的表達式為y=x2-2x-1．