Question

11．如圖，正方形ABCD中，AB=4，點E是BC上靠近點B的四等分點，點F是CD的中點，連接AE、BF將△ABE繞著點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點B落在BF上的B₁處位置處，點A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)落在點A₁位置處，連接AA₁交BF于點N，則AN的長為$\frac{2}{5}$$\sqrt{85}$．

Answer 1

分析 先找出輔助線判斷出點P是BB₁的中點，由旋轉(zhuǎn)得到△BCF∽△APE，再判斷出A，B₁，M三點共線，再由B₁Q=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，A₁Q=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=AB₁最后用勾股定理計算即可，

解答 解：如圖，

作EP⊥BF，A₁Q⊥BF，取BC的中點M，連接AB₁，B₁M，
∴點P是BB₁的中點，
∵E是BM中點，
∴EP∥MB₁，
∴MB₁⊥BB₁，
由旋轉(zhuǎn)得，△BCF∽△APE，
∴BP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵PB₁=PB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BB₁=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵sin∠FBC=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{B{B}_{1}}{BA}$，
∴∠AB₁B=90°，
∴A，B₁，M三點共線，
∴AB₁=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵∠B₁A₁Q=∠BB₁E=∠FBC，
∴△B₁QA₁∽△FCB，
∴B₁Q=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，A₁Q=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=AB₁，
∴△AB₁N≌△A₁QN，
∴B₁N=$\frac{1}{2}$B₁Q=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
根據(jù)勾股定理得，AN=$\frac{2\sqrt{85}}{5}$，
故答案為$\frac{2\sqrt{85}}{5}$．

點評 此題是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的意義，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線．