Question

如圖，點A₁、B₁、C₁分別是△ABC的三邊BC、AC、AB的中點，點A₂、B₂、C₂分別是△A₁B₁C₁的邊B₁C₁、A₁C₁、A₁B₁的中點，依此類推，則△A_nB_nC_n與△ABC的面積比為________．

Answer 1

（）ⁿ
分析：由于A₁、B₁、C₁分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，就可以得出△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為，就可求出S△A₁B₁C₁=，同樣地方法得出S△A₂B₂C₂=…依此類推所以就可以求出S_△AnBnCn的值．
解答：∵A₁、B₁、C₁分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位線，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為，
∴S_△A1B1C1：S_△ABC=1：4，且S_△ABC=1
∴S_△A1B1C1=，
∵A₂、B₂、C₂分別是△A₁B₁C₁的邊B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中點，
∴△A₁B₁C₁的∽△A₂B₂C₂且相似比為，
∴S_△A2B2C2=，
依此類推
∴S_△A3B3C3=，
∴S_△AnBnCn==（）ⁿ．
故答案為：（）ⁿ．
點評：本題考查了三角形中位線定理的運用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，解題的關(guān)鍵是有相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方得到一般性規(guī)律．