Question

【題目】如圖所示，△ABC中，AC=BC，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，作直線DF⊥AC交AC于點F，交CB的延長線于點E．

（1）求證：直線EF四⊙O的切線；

（2）若BC=6，AB=4，求DE的長．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、6

【解析】

試題分析：(1)、連結(jié)OD，如圖，通過證明OD∥AC，加上DF⊥AC，于是可得到DF⊥OD，然后根據(jù)切線的判定定理可得DF為⊙O的切線；，(2)、連結(jié)CD，作DH⊥BC于H，如圖，先利用圓周角定理得到∠BDC=90°，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=AD=AB=2，在Rt△BDC中可利用勾股定理計算出CD=2，再利用面積法克計算出DH=2，接著根據(jù)勾股定理計算出OH=1，然后證明Rt△ODH∽Rt△OED，利用相似比可計算出DE．

試題解析：(1)、連結(jié)OD，如圖，∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠ODB=∠A，

∴OD∥AC，而DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF為⊙O的切線；

(2)、連結(jié)CD，作DH⊥BC于H，如圖，∵BC為直徑，∴∠BDC=90°，而CA=CB，∴BD=AD=AB=2，

在Rt△BDC中，CD==2，∵DHBC=DECD，∴DH==2，

在Rt△ODH中，OH==1，∵∠DOH=∠EOD，∴Rt△ODH∽Rt△OED，∴=，即=，

∴DE=6．