Question

如圖，大樓AB的高為16米，遠(yuǎn)處有一塔CD，小明在樓底A處測(cè)得塔頂D處的仰角為60°，在樓頂B處測(cè)得塔頂D處的仰角為45°．其中A、C兩點(diǎn)分別位于B、D兩點(diǎn)正下方，且A、C兩點(diǎn)在同一水平線上，求：
（1）塔CD的高度；
（2）若將題目中的數(shù)據(jù)16米、60°、45°分別改為m米、∠α、∠β（α＞β），請(qǐng)用含m、α、β的式子表示塔CD的高度．

Answer 1

分析：首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及兩個(gè)直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分別計(jì)算，可得到一個(gè)關(guān)于AC的方程，從而求出DC．

解答：解：（1）作BE⊥CD于E．
可得Rt△BED和矩形ACEB．
則有CE=AB=16，AC=BE．
在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC．
在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°=

3

AC．
∵16+DE=DC，
∴16+AC=

3

AC，
解得：AC=8

3

+8=DE．
所以塔CD的高度為（8

3

+24）米；

（2）根據(jù)（1）得：Rt△BED中，DE=BE=AC•tanβ，
Rt△DAC中，CD=ACtanα，
∵AB=CD-DE=m，
∴AC•tanα-AC•tanβ=m，
解得：AC=

m

tanα-tanβ

．
則CD的高度是：

m•tanα

tanα-tanβ

．

點(diǎn)評(píng)：本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．