如圖,大樓AB的高為16米,遠(yuǎn)處有一塔CD,小明在樓底A處測(cè)得塔頂D處的仰角為60°,在樓頂B處測(cè)得塔頂D處的仰角為45°.其中A、C兩點(diǎn)分別位于B、D兩點(diǎn)正下方,且A、C兩點(diǎn)在同一水平線上,求:
(1)塔CD的高度;
(2)若將題目中的數(shù)據(jù)16米、60°、45°分別改為m米、∠α、∠β(α>β),請(qǐng)用含m、α、β的式子表示塔CD的高度.
分析:首先分析圖形,根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及兩個(gè)直角三角形,即Rt△BED和Rt△DAC,利用已知角的正切分別計(jì)算,可得到一個(gè)關(guān)于AC的方程,從而求出DC.
解答:解:(1)作BE⊥CD于E.
可得Rt△BED和矩形ACEB.
則有CE=AB=16,AC=BE.
在Rt△BED中,∠DBE=45°,DE=BE=AC.
在Rt△DAC中,∠DAC=60°,DC=ACtan60°=
3
AC.
∵16+DE=DC,
∴16+AC=
3
AC,
解得:AC=8
3
+8=DE.
所以塔CD的高度為(8
3
+24)米;

(2)根據(jù)(1)得:Rt△BED中,DE=BE=AC•tanβ,
Rt△DAC中,CD=ACtanα,
∵AB=CD-DE=m,
∴AC•tanα-AC•tanβ=m,
解得:AC=
m
tanα-tanβ

則CD的高度是:
m•tanα
tanα-tanβ
點(diǎn)評(píng):本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形,并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.
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