Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)A（﹣2，3），且拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)B（0，2）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）是否在x軸上存在點(diǎn)P使△PAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，則當(dāng)PA﹣PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣2，3），∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）2+3．

由題意得：a（0+2）2+3=2，解得：a=﹣ ．

∴物線的解析式為y=﹣ （x+2）2+3，即y=﹣ x2﹣x+2．

（2）

解：設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（p，0），則

PA2=（﹣2﹣p）2+32，PB2=p2+22，AB2=（3﹣2）2+22=5

當(dāng)PA=PB時(shí)，（﹣2﹣p）2+32=p2+22，解得：p=﹣ ；

當(dāng)PA=AB時(shí)，（﹣2﹣p）2+32=5，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；

當(dāng)PB=AB時(shí)，p2+22=5，解得p=±1．

∴x軸上存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（﹣ ，0）或（﹣1，0）或（1，0）．

（3）

解：∵PA﹣PB≤AB，

∴當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，可得PA﹣PB的最大值，這個(gè)最大值等于AB，此時(shí)點(diǎn)P是直線AB與x軸的交點(diǎn)．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則：

，解得 ．

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+2，

當(dāng)y=﹣ x+2=0時(shí)，解得x=4．

∴當(dāng)PA﹣PB最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0）．

【解析】（1）通過(guò)讀題可以看出拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)A（﹣2，3），且經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，所以直接將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后代入B點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可．（2）首先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式分別求出PA、PB、AB的長(zhǎng)度（或表達(dá)式），然后分PA=PB、PA=AB、PB=AB三種情況列方程求解即可．（3）當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時(shí)，PA﹣PB＜AB（三角形三邊關(guān)系定理），三點(diǎn)共線時(shí)，PA﹣PB=AB，綜合來(lái)看：PA﹣PB≤AB，所以當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，P、A、B三點(diǎn)共線，因此只需求出直線AB的解析式，該直線與x軸的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對(duì)等腰三角形的性質(zhì)的理解，了解等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．