Question

【題目】已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上．

（1）求的值及這個二次函數(shù)的解析式；

（2）在軸上找一點(diǎn)，使的周長最小，并求出此時點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若是軸上的一個動點(diǎn)，過作軸的垂線分別于直線和二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．當(dāng)時，求線段的最大值；

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）時，最大長度

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出m的值，根據(jù)題意設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，即可得出二次函數(shù)的解析式；

（2）聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對應(yīng)點(diǎn)，連接，求出直線的解析式，再令y=0，即可得出答案；

（3）根據(jù)P的坐標(biāo)設(shè)出點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)，用點(diǎn)D的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)E的縱坐標(biāo)即可得出DE的函數(shù)解析式，再化為頂點(diǎn)式，即可得出答案.

解：（1）∵過點(diǎn)A(3,4)

∴3+m=4

解得：m=1

又二次函數(shù)的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)

∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：

又二次函數(shù)過點(diǎn)A(3,4)

∴

解得：a=1

∴二次函數(shù)的解析式為：

（2）根據(jù)題意可得：

解得：或

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)

做點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)

連接與x軸的交點(diǎn)即為所求

設(shè)直線的解析式為：y=kx+b

∴，解得

∴直線的解析式為：

當(dāng)y=0時，x=

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()

（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為

當(dāng)0<a<3時，

∴當(dāng)a=時，DE最長，此時DE=