【題目】如圖,在直角中,,,作的平分線交于點,在上取點,以點為圓心經(jīng)過、兩點畫圓分別與、相交于點、(異于點).
(1)求證:是的切線;
(2)若點恰好是的中點,求的長;
(3)若的長為.
①求的半徑長;
②點關于軸對稱后得到點,求與的面積之比.
【答案】(1)見解析;(2);(3)①或;②或
【解析】
(1)連接DO,如圖,先根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì),得出∠1=∠3,從而得到DO∥BC,再根據(jù)∠C=90°,可得出結(jié)果;
(2)連接FO,根據(jù)E為中點,可以得出,在Rt△AOD中,可以求出sinA的值,從而得出∠A的度數(shù),再證明△BOF為等邊三角形,從而得出∠BOF的度數(shù),根據(jù)弧長公式可得出結(jié)果;
(3)①設圓的半徑為r,過作于,則,四邊形是矩形.再證明,得出,據(jù)此列方程求解;
②作出點F關于BD的對稱點F′,連接DE,DF,DF′,FF′,再證明,最后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求解.
(1)證明:連結(jié),
∵平分,∴,
∵,∴.∴.∴.
∵,∴.
∴是的切線.
(2)解:∵是中點,∴.
∴,∴,.
連接FO,
又BO=OF,∴△BOF為等邊三角形,
∴.
∴.
(3)解:①過作于,則,四邊形是矩形.
設圓的半徑為,則,.
∵,∴.
而,∴.
∴即,
解之得,.
②作出點F關于BD的對稱點F′,連接FF′,DE,DF,DF′,
∵∠EBD=∠FBD,∴.
∵是直徑,∴,
而、關于軸對稱,∴,,DF=DF′,
∴DE∥FF′,DE=DF′,∠DEF′=∠DF′E,
∴,
∴.
當時,,,,
由①知,而,
∴.
又易得△BCD∽△BDE,∴,∴BD2=.
在Rt△BED中,DE2=BE2-BD2=4-=,∴DE==DF′.
∴與的面積比.
同理可得,當時,與的面積比.
∴與的面積比為或.
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【題目】綜合與探究:
如圖所示,在平面直角坐標系中,直線與反比例函數(shù)的圖象交于,兩點,過點作軸于點,過點作軸于點.
(1)求,的值及反比例函數(shù)的函數(shù)表達式;
(2)若點在線段上,且,請求出此時點的坐標;
(3)小穎在探索中發(fā)現(xiàn):在軸正半軸上存在點,使得是以為頂角的等腰三角形.請你直接寫出點的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,反比例函數(shù)的圖像與邊長是6的正方形的兩邊,分別相交于,兩點.
(1)若點是邊的中點,求反比例函數(shù)的解析式和點的坐標;
(2)若,求直線的解析式及的面積
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【題目】如圖,在中,,,,動點從點出發(fā),沿方向勻速運動,速度為;同時,動點從點出發(fā),沿方向勻速運動,速度為;當一個點停止運動,另一個點也停止運動.設點,運動的時間是.過點作于點,連接,.
(1)為何值時,?
(2)設四邊形的面積為,試求出與之間的關系式;
(3)是否存在某一時刻,使得若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;
(4)當為何值時,?
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【題目】在一個不透明的小布袋中裝有4個質(zhì)地、大小完全相同的小球,它們分別標有數(shù)字0,1,2,3,小明從布袋里隨機摸出一個小球,記下數(shù)字為,小紅在剩下的3個小球中隨機摸出一個小球,記下數(shù)字為,這樣確定了點的坐標.
(1)畫樹狀圖或列表,寫出點所有可能的坐標;
(2)小明和小紅約定做一個游戲,其規(guī)則為:若在第一象限,則小明勝;否則,小紅勝;這個游戲公平嗎?請你作出判斷并說明理由.
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【題目】如圖,某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處,在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上.該貨船航行30分鐘后到達B處,此時再測得該島在北偏東30°的方向上,
(1)求B到C的距離;
(2)如果在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁.若繼續(xù)向正東方向航行,該貨船有無觸礁危險?試說明理由(≈1.732).
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【題目】農(nóng)科院新培育岀A、B兩種新麥種,為了了解它們的發(fā)芽情況,在推廣前做了五次發(fā)芽實驗,每次隨機各自取相同種子數(shù),在相同的培育環(huán)境中分別實驗,實驗情況記錄如下:
下面有三個推斷:
①在同樣的地質(zhì)環(huán)境下播種,A種子的出芽率可能會高于B種子.
②當實驗種子數(shù)里為100時,兩種種子的發(fā)芽率均為0.96所以他發(fā)芽的概率一樣;
③隨著實驗種子數(shù)量的增加,A種子出芽率在0.98附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計A種子出芽的概率是0.98;其中不合理的是_____(只填序號)
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【題目】如圖,AB=AC,⊙O為△ABC的外接圓,AF為⊙O的直徑,四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若∠BAC=45°,AF=2,求陰影部分的面積.
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【題目】如圖,將一邊長AB為4的矩形紙片折疊,使點D與點B重合,折痕為EF,若EF=2,則矩形的面積為( 。
A.32B.28C.30D.36
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