Question

已知二次函數(shù)y=x²+ax+a-2．
（1）說明這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；
（2）求這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離（用a的代數(shù)式表示）．
（3）a取何值時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離最��？

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）證明判別式△＞0，即可解決問題．
（2）求出二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，即可解決問題．
（3）運(yùn)用（1）中的結(jié)果，即可解決問題．

解答：解：（1）∵△=a²-4×（a-2）
=a²-4a+8=（a-2）²+4，而（a-2）²≥0，
∴△＞0，故該二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離為λ；
解方程x²+ax+a-2=0得：x1=

-a+ a2-4a+8

2

，x2=

-a- a2-4a+8

2

，
∴λ=x₁-x₂=

a2-4a+8

，
即這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離為

a2-4a+8

．
（3）∵a²-4a+8=（a-2）²+4，
∴當(dāng)a=2時(shí)，a²-4a+8取得最小值，此時(shí)，
二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離最小，最小值為2．

點(diǎn)評：該題主要考查了二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用二次函數(shù)與一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系來分析、解答．