Question

9．如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊BC、AD上的中點(diǎn)，且∠BAC=90°，
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)1可得AD=BC，AB=CD，∠B=∠D，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得BE=DF，然后利用SAS判定△ABE≌△CDF即可；
（2）首先證明四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得AE=EC，從而可判定四邊形AECF是菱形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D，
∵E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$AD，
∴BE=DF．
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠B=∠D}&{\;}\\{BE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：四邊形AECF是菱形．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，E為BC中點(diǎn)，
∴AE=EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四邊形AECF是菱形．

點(diǎn)評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊相等，對角相等；鄰邊相等的平行四邊形是菱形．