Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交點A和點B，y軸交于點C，連接AC，直線BC的解析式為y=-x+3．
（1）求b和c的值；
（2）點E在拋物線上，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，連接CE、BE，設(shè)△EBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量m的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，射線AE交拋物線的對稱軸于點L，點P在x軸正半軸上，BP的垂直平分線交射線AE于點Q，點Q關(guān)于x軸的對稱點在拋物線，若$\frac{LQ}{AP}=\frac{5}{8}$，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用直線BC的解析式求出點B、C的坐標(biāo)，然后代入y=-x²+bx+c即可求出b和C的值；
（2）由于點E的不確定性，所以點E的位置由兩種情況，一種是點E在直線BC上方，另一種是點E在直線BC的下方，利用三角形面積公式即可答案；
（3）由（2）可知點E的情況有兩種，當(dāng)點E在直線BC上方時，由于點Q關(guān)于x軸的對稱點在拋物線，所以點p只能在B的左側(cè)；當(dāng)點E在直線BC下方時，有三種情況，其中點E在第二、三象限時不滿足題意，所以點E只能在第四象限．

解答 解：（1）令x=0代入y=-x+3，
∴y=3，
∴點C的坐標(biāo)為（0，3），
令y=0，代入y=-x+3，
∴x=3，
∴點B的坐標(biāo)為（3，0），
把B（3，0）和C（0，3）代入y=-x²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{0=-9+3b+c}\end{array}\right.$
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，

（2）當(dāng)點E在直線BC上方時，
過點E作EF⊥x軸于點F，交BC于點G，
∵E的橫坐標(biāo)為m，
∴令x=m代入y=-x+3，
∴y=3-m，
∴點G的坐標(biāo)為（m，3-m），
令x=m代入y=-x²+2x+3，
∴y=-m²+2m+3，
∴點E的坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3）
∴GE=-m²+3m，
∴S=$\frac{1}{2}$GE•OF+$\frac{1}{2}$GE•BF=$\frac{1}{2}$GE•OB=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m，
當(dāng)點E在直線BC下方時，如圖2，
過點E作EF⊥y軸于點G，交BC于點F，
∵點E的坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3）
∴點F的縱坐標(biāo)為-m²+2m+3，
令y=-m²+2m+3代入y=-x+3，
∴x=m²-2m，
∴F的坐標(biāo)為（m²-2m，-m²+2m+3），
∴EF=m²-2m-m=m²-3m，
∴S=$\frac{1}{2}$EF•CG=$\frac{1}{2}$EF•OG=$\frac{1}{2}$EF•OC=$\frac{3}{2}$（m²-3m）=$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m，
綜上所述，S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m或S=$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m；

（3）當(dāng)點E在直線BC的上方時，如圖3，
若點P在B的左側(cè)時，此時點Q關(guān)于x軸的對稱點不在拋物線上，
∴點P只能在點B右側(cè)，
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點H，BP的垂直平分線交x軸于點M，
∵$\frac{LQ}{AP}=\frac{5}{8}$，
∴設(shè)LQ=5t，AP=8t，
令y=0代入y=-x²+2x+3，
解得：x=-1或x=3，
∴A（-1，0）
∴AB=4，
∴BP=AP-AB=8t-4，
∴BM=$\frac{1}{2}$BP=4t-2，
∵HB=2，
∴HM=LK=HB+BM=4t，
∴cos∠QAM=cos∠QLK=$\frac{LK}{LQ}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{3}{4}$AM=QM，
設(shè)Q的橫坐標(biāo)為q，
∴AM=q+1，
∵點Q關(guān)于x軸的對稱點在拋物線上，
∴QM=-（-q²+2q+3），
∴$\frac{3}{4}$（q+1）=-（-q²+2q+3），
解得：q=-1或q=$\frac{15}{4}$，
當(dāng)q=-1時，
M與Q重合，舍去，
當(dāng)q=$\frac{15}{4}$時，
∴OP=OB+BP=2q-3=$\frac{9}{2}$，
∴點P坐標(biāo)為（$\frac{9}{2}$，0）
當(dāng)點E在直線BC的下方時，如圖4
若點E在第二象限時，則此時點Q的對稱點不在拋物線上，
若點E在第三象限時，則此時射線AE與拋物線的對稱軸無交點，
所以點E只能在第四象限，
由于點Q關(guān)于x軸的對稱點在拋物線上，
∴點P在B的左側(cè)，
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點H，BP的垂直平分線與x軸交于點M，
過點L作LK∥x軸，交MQ于點K，
∴易求得：KL=HM=4t，
∴cos∠QAM=∠QLK=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{3}{4}$AM=QM，
設(shè)Q的橫坐標(biāo)為q，
∴AM=q+1，
∵點Q關(guān)于x軸的對稱點在拋物線上
∴QM=-q²+2q+3，
∴$\frac{3}{4}$（q+1）=-q²+2q+3，
解得：q=-1或q=$\frac{9}{4}$，
∴q=-1時，
此時M與Q重合，舍去，
當(dāng)q=$\frac{9}{4}$時，
∴OP=q-（3-q）=$\frac{3}{2}$，
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（$\frac{9}{2}$，0）或（$\frac{3}{2}$，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求解析式，軸對稱的性質(zhì)，解方程等知識，考查知識綜合程度高，需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識進行解答，