【題目】如圖,在直角坐標系中,點A的坐標為(-2,0),OB=OA,且∠AOB=120°.
(1)求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式;
(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使△OBC的周長最小?若存在,求出點C的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點M為拋物線上一點,點N為對稱軸上一點,是否存在點M、N使得A、O、M、N構(gòu)成的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)(-1,);(3) M1(-1,-),M2(-3,),M3(1,).
【解析】
(1)先確定出點B坐標,再用待定系數(shù)法即可;
(2)先判斷出使△BOC的周長最小的點C的位置,再求解即可;
(3)分OA為對角線、為邊這兩種情況進行討論計算即可得出答案.
(1)如圖所示,過點B作BD⊥x軸于點D,
∵點A的坐標為(-2,0),OB=OA,
∴OB=OA=2,
∵∠AOB=120°,
∴∠BOD=60°,
在Rt△OBD中,∠ODB=90°,
∴∠OBD=30°,
∴OD=1,DB=,
∴點B的坐標是(1, ),
設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
由已知可得:
,
解得:
∴所求拋物線解析式為;
(2)存在.
如圖所示,
∵△BOC的周長=OB+BC+CO,
又∵OB=2,
∴要使△BOC的周長最小,必須BC+CO最小,
∵點O和點A關(guān)于對稱軸對稱,
∴連接AB與對稱軸的交點即為點C,
由對稱可知,OC=OA,
此時△BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+AC;
點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點,
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
將點A(2,0),B(1,)分別代入,得:
,
解得:,
∴直線AB的解析式為y=x+,
當x=1時span>,y=,
∴所求點C的坐標為(1,);
(3)如圖所示,
①當以OA為對角線時,
∵OA與MN互相垂直且平分,
∴點M1(1,),
②當以OA為邊時,
∵OA=MN且OA∥MN,
即MN=2,MN∥x軸,
設(shè)N(1,t),
則M(3,t)或(1,t)
將M點坐標代入,
解得,t=,
∴M2(3,),M3 (1,)
綜上:點M的坐標為:(-1,-),或(-3,)或(1,).
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【題目】如圖,△AOB為等腰三角形,頂點A的坐標(2,),底邊OB在x軸上.將△AOB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得△A′O′B,點A的對應(yīng)點A′在x軸上,則點O′的坐標為( )
A. (,) B. (,) C. (,) D. (,4)
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【題目】如圖,在中,點D,E分別在邊AC,AB上,BD與CE交于點O,給出下列三個條件:①∠EBO=∠DCO;②;③.
(1)上述三個條件中,由哪兩個條件可以判定是等腰三角形?(用序號寫出所有成立的情形)
(2)請選擇(1)中的一種情形,說明你的理由.
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【題目】矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點E是BC邊上一點,連接AE,把∠B沿AE折疊,使點B落在點B′處,當△CEB′為直角三角形時,BE的長為( )
A. 3 B. C. 2或3 D. 3或
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【題目】我們定義:如果兩個角的差的絕對值等90°,就可以稱這兩個角互為垂角,例如:∠1=120°,∠2=30°,|∠1﹣∠2|=90°,則∠1和∠2互為垂角(本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角),如圖,OC⊥AB于點O,OE⊥OD,圖中所有互為垂角的角有( )
A.2對B.3對C.4對D.6對
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【題目】如圖,A(-5,0),B(-3,0),點C在y軸的正半軸上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°.點P從點Q(4,0)出發(fā),沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度運動,運動時時間t秒.
(1)求點C的坐標;
(2)當∠BCP=15°時,求t的值;
(3)以點P為圓心,PC為半徑的⊙P隨點P的運動而變化,當⊙P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線)相切時,求t的值.
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【題目】若從 -3,-1,0,1,3這五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)記為a,再從剩下的四個數(shù)中任意抽取一個數(shù)記為b,恰好使關(guān)于x,y的二元一次方程組有整數(shù)解,且點(a,b)落在雙曲線上的概率是_________.
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【題目】2017年5月14日至15日,“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行,本屆論壇期間,中國同30多個國家簽署經(jīng)貿(mào)合作協(xié)議,某廠準備生產(chǎn)甲、乙兩種商品共8萬件銷往“一帶一路”沿線國家和地區(qū). 已知2件甲種商品與3件乙種商品的銷售收入相同,3件甲種商品比2件乙種商品的銷售收入多1500元.
(1)甲種商品與乙種商品的銷售單價各多少元?
(2)若甲、乙兩種商品的銷售總收入不低于5400萬元,則至少銷售甲種商品多少萬件?
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【題目】如圖,直線與雙曲線相交于點A(m,3),與x軸交于點C.
(1)求雙曲線的解析式;
(2)點P在x軸上,如果△ACP的面積為3,求點P的坐標.
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