Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點E為底AD上一點，將△ABE沿直線BE折疊，點A落在梯形對角線BD上的G處，EG的延長線交直線BC于點F．
（1）求證：△ABG∽△BFE；
（2）當四邊形EFCD為平行四邊形時，若設(shè)AD=a，AB=b，BC=c
①求a、b、c應(yīng)滿足的關(guān)系；
②在①的條件下，當b=2時，a的值是唯一的，則∠C=

 

度（無需書寫過程）．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AEB=∠EBF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，從而判斷出△FEB為等腰三角形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明；
（2）①根據(jù)勾股定理求出BD的長度，再利用兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解；
②把b=2代入a、b、c的關(guān)系式，利用求根公式求出a的兩個根，再根據(jù)a是唯一的，可以判定△=c²-16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判斷出H是BC的中點，利用解直角三角形求出∠C=45°；

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB為等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，
∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE，
∴△ABG∽△BFE；

（2）解：①∵四邊形EFCD為平行四邊形，
∴EF∥DC，
證明兩個角相等，得△ABD∽△DCB，…7分
∴

AD

DB

=

DB

CB

，
即

a

a2+b2

=

a2+b2

c

，
∴a²+b²=ac；

②解關(guān)于a的一元二次方程a²-ac+2²=0，得：
a₁=

c+ c2-16

2

，a₂=

c- c2-16

2

由題意，△=0，即c²-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2
∴H為BC的中點，且ABHD為正方形，DH=HC，∠C=45°；

點評：本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，需仔細分析，認真研究，結(jié)合圖形理清題目邊長之間的關(guān)系，角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題對同學們的能力要求較高．