Question

如圖，⊙P內(nèi)含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于點(diǎn)C，且AB∥OP．若陰影部分的面積為16π，則弦AB的長(zhǎng)為

1. A.
   4
2. B.
   6
3. C.
   8
4. D.
   10

Answer 1

C
分析：連接PC，由AB為圓P的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PC與AB垂直，連接OA，過(guò)O作OD垂直于AB，由垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，由OD和PC都與AB垂直，得到OD與PC平行，由OP與AB平行，可得出四邊形ODPC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得OD=PC，又陰影部分的面積用圓O的面積減去圓P的面積，表示出陰影部分的面積，在直角三角形AOD中，利用勾股定理表示出三邊的關(guān)系，變形后代入表示出的陰影部分面積，再根據(jù)陰影部分的面積可得出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AB的長(zhǎng)．
解答：連接PC，可得PC⊥AB，再連接OA，過(guò)O作OD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，如圖所示：

∵PC⊥AB，OD⊥AB，
∴∠ODC=∠PCB=90°，
∴PC∥OD，又AB∥OP，
∴四邊形OPCD為平行四邊形，
∴PC=OD，
又∵OD⊥AB，
∴D為AB的中點(diǎn)，即AD=BD=AB，
∵在Rt△OAD中，根據(jù)勾股定理得：OA²=OD²+AD²，即OA²-OD²=AD²，
且S_陰影=16π，
∴S_陰影=π•OA²-πPC²=π•OA²-πOD²=π（OA²-OD²）=πAD²=16π，
∴AD²=16，即AD=4，
則AB=2AD=8．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及陰影部分面積的求法，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．