Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，已知OA=，tan∠AOC=，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，-2）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求一次函數(shù)的解析式；
（3）在y軸上存在一點(diǎn)P，使得△PDC與△ODC相似，請(qǐng)你求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）過A作AE垂直x軸，垂足為E，
∵tan∠AOC=，
∴OE=3AE
∵OA=，OE²+AE²=10，
∴AE=1，OE=3
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1）．
∵A點(diǎn)在雙曲線上，
∴，
∴k=3．
∴雙曲線的解析式為．

（2）∵點(diǎn)B（m，-2）在雙曲線上，
∴-2=，
∴m=-．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-，-2）．
∴，∴
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-1．

（3）過點(diǎn)C作CP⊥AB，交y軸于點(diǎn)P，
∵C，D兩點(diǎn)在直線y=x-1上，
∴C，D的坐標(biāo)分別是：C（，0），D（0，-1）．
即：OC=，OD=1，
∴DC=．
∵△PDC∽△CDO，
∴，
∴PD=
又OP=DP-OD=
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．
分析：（1）中，因?yàn)镺A=，tan∠AOC=，則可過A作AE垂直x軸，垂足為E，利用三角函數(shù)和勾股定理即可求出AE=1，OE=3，從而可知A（3，1），又因點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上，由此可求出開k=3，從而求出反比例函數(shù)的解析式．
（2）中，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，-2）．所以3=-2x．
即m=-，B（-，-2）．然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，得到關(guān)于a、b的方程組，解之即可求出a、b的值，最終寫出一次函數(shù)的解析式．
（3）因?yàn)樵趛軸上存在一點(diǎn)P，使得△PDC與△ODC相似，而∠PDC和∠ODC是公共角，所以有△PDC∽△CDO，，而點(diǎn)C、D分別是一次函數(shù)y=x-1的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，因此有C（，0）、D（0，-1）．OC=，OD=1，DC=．
進(jìn)而可求出PD=，OP=．寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此類題目往往和三角函數(shù)相聯(lián)系，在考查學(xué)生待定系數(shù)法的同時(shí)，也綜合考查了學(xué)生的解直角三角形、相似三角形的知識(shí)，是數(shù)形結(jié)合的典型題例，它的解決需要學(xué)生各方面知識(shí)的靈活運(yùn)用．