【題目】D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點,DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F(xiàn).

(1)當∠MDN繞點D轉(zhuǎn)動時,求證:DE=DF.

(2)若AB=2,求四邊形DECF的面積.

【答案】(1)證明見解析.(2)。

【解析】分析:(1)連CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分∠ACB,CD⊥AB,∠A=45°,CD=DA,則∠BCD=45°,∠CDA=90°,由DM⊥DN得∠EDF=90°,根據(jù)等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF,根據(jù)全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF,即可得到結(jié)論;(2)由△DCE≌△ADF,則S△DCE=S△ADF,于是四邊形DECF的面積=S△ACD,由而AB=2可得CD=DA=1,根據(jù)三角形的面積公式易求得S△ACD,從而得到四邊形DECF的面積.

本題解析:

(1)連CD,如圖,

∵D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點,

∴CD平分∠ACB,CD⊥AB,∠A=45°,CD=DA,

∴∠BCD=45°,∠CDA=90°,

∵DM⊥DN,

∴∠EDF=90°,

∴∠CDE=∠ADF,

在△DCE和△ADF中,

∴△DCE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF;

(2)∵△DCE≌△ADF,

∴S△DCE=S△ADF,

∴四邊形DECF的面積=S△ACD

而AB=2,

∴CD=DA=1,

∴四邊形DECF的面積=S△ACD=CDDA=

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