Question

如圖，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．
（1）CD的長為______．
（2）點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著邊BC向點C運動，連接DP．設點P運動的時間為t秒，則當t為何值時，△PDC為等腰三角形？
（3）在（2）的條件下，點Q同時從點B出發(fā)，以每秒4個單位的速度沿著邊BA、AD向點D運動，當點Q到達終點時兩點同時停止運動．是否存在某一時刻t，使得以點P、Q、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點D作DE⊥BC，垂足為E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∴AD=BE=6，AB=DE=4，
∴CE=BC-BE=BC-AD=9-6=3，
在Rt△DEC中，DE=4，CE=3，AB==5，
故答案為：5；

（2）由題意得PC=9-t，PE=6-t．
當CD=CP時，5=9-t，解得t=4；
當CD=PD時，E為PC中點，
則6-t=3，
解得t=3；
當PD=PC時，PD²=PC²，
則（6-t）²+4²=（9-t）²，解得t=；

（3）顯然，當點Q在AB上時，以點P、Q、D、C為頂點的四邊形不可能是平行四邊形；
當點Q在AD上時，1≤t＜．
若四邊形PQDC為平行四邊形，則PC=DQ．
則9-t=10-4t，解得t=（不合題意，舍去）．
故不存在某一時刻t，使得以點P、Q、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形．
當3≤t＜時，在整個運動過程中，始終存在某一時刻，使四邊形PQDC為平行四邊形．
分析：（1）過點D作DE⊥BC，垂足為E，則四邊形ABED是矩形，所以AD=BE，AB=DE，在Rt△DEC中利用勾股定理即可求出CD的長；
（2）由題意得PC=9-t，PE=6-t，因為△PDC是等腰三角形所以CD=CP或CD=PD或PD=PC，在三種情況下分別求出t的值即可；
（3）存在某一時刻t，使得以點P、Q、D、C為頂點的四邊形是平行四邊，顯然當點Q在AB上時，以點P、Q、D、C為頂點的四邊形不可能是平行四邊形；所以當點Q在AD上時若若四邊形PQDC為平行四邊形，則PC=DQ．由此可求出時間t的值，而當3≤t＜時，在整個運動過程中，始終存在某一時刻，使四邊形PQDC為平行四邊形．
點評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)和平行四邊形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性不小，難度中等．