Question

楊城同學(xué)訓(xùn)練上樓梯賽跑，他每步可上2階或3階（但不上1階，也不上4階以上）．現(xiàn)共有16階臺階，規(guī)定不許踏上第7階，也不許踏上第13階．那么楊城有（　　）種不同的上樓梯方法．（注：兩種上樓梯方法，只要有某l階樓梯的上法不相同，就算作不同的方法）

A、12

B、14

C、15

D、16

Answer 1

分析：如果設(shè)楊城同學(xué)上n階樓梯有a_n種上法，n是正整數(shù)．根據(jù)已知條件，他每步可上2階或3階（但不上1階，也不上4階以上），易知a₁=0，a₂=1，a₃=1，a₄=1，a₅=2，a₆=2．考查a_n：把上n階樓梯的方法分成兩類，第一類是最后一步邁大步上3階樓梯的上法，第二類是最后一步邁小步上2階樓梯的上法，由加法原理知a_n等于兩類上樓梯方法數(shù)之和．并且結(jié)合題目的規(guī)定不許踏上第7階，也不許踏上第13階，即a₇=0，a₁₃=0，從而求出a₁₆的值．

解答：解：采用遞推的方法：
a₂=1（表示兩階樓梯只有一種上法），
a₃=1（表示三階樓梯只有一種上法，下同），
a₄=1，
a₅=2，
a₆=2，
a₇=0，
a₈=（先上到5然后一步到8的方法數(shù)）+（先上到6然后一步到8的方法數(shù)）=2+2=4，
a₉=（先上到6然后一步到9的方法數(shù)）+（先上到7一步到9的方法數(shù)）=2+0=2，
a₁₀=（先上到8然后一步到10的方法數(shù)）+（先上到7一步到10的方法數(shù)）=4+0=4，
a₁₁=（先上到8然后一步到11的方法數(shù)）+（先上到9一步到11的方法數(shù)）=4+2=6，
a₁₂=（先上到9然后一步到12的方法數(shù)）+（先上到10一步到13的方法數(shù)）=2+4=6，
a₁₃=0，
a₁₄=（先上到11然后一步到14的方法數(shù)）+（先上到12一步到14的方法數(shù)）=6+6=12，
a₁₅=（先上到12然后一步到15的方法數(shù)）+（先上到13一步到15的方法數(shù)）=6+0=6，
a₁₆=（先上到13然后一步到16的方法數(shù)）+（先上到14一步到16的方法數(shù)）=0+12=12．
故選A．

點評：本題是規(guī)律性題目，主要考查了加法原理的應(yīng)用，屬于競賽題型，有一定難度．解答此題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)所給的條件，分析出上n階樓梯的方法有兩類，而由加法原理知a_n等于兩類上樓梯方法數(shù)之和．