Question

如圖，直線y＝x＋3與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y＝ax²＋bx－3a經(jīng)過點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，連接CB并延長交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸MN對稱.

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形.

Answer 1

（1）y＝－x²－2x＋3  （－1，4）  （2）見解析

（1）解：∵y＝x＋3與坐標(biāo)軸分別交與A，B兩點(diǎn)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)（－3，0）、B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）.
∵拋物線y＝ax²＋bx－3a經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，
∴
解得
∴拋物線解析式為：y＝－x²－2x＋3.
∵y＝－x²－2x＋3＝－（x＋1）²＋4，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，4）.
（2）證明：∵B，D關(guān)于MN對稱，C（－1，4），B（0，3），
∴D（－2，3）.∵B（0，3），A（－3，0），∴OA＝OB.
又∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.
∵B，D關(guān)于MN對稱，∴BD⊥MN.
又∵M(jìn)N⊥x軸，∴BD∥x軸.
∴∠DBA＝∠BAO＝45°.
∴∠DBO＝∠DBA＋∠ABO＝45°＋45°＝90°.
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，
把B（0，3），C（－1，4）代入得，
解得
∴y＝－x＋3.
當(dāng)y＝0時(shí)，－x＋3＝0，x＝3，∴E（3，0）.
∴OB＝OE，又∵∠BOE＝90°，
∴∠OEB＝∠OBE＝∠BAO＝45°.
∴∠ABE＝180°－∠BAE－∠BEA＝90°.
∴∠ABC＝180°－∠ABE＝90°.
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°.
∵CM⊥BD，∴∠MCB＝45°.
∵B，D關(guān)于MN對稱，
∴∠CDM＝∠CBD＝45°，CD∥AB.
又∵AD與BC不平行，∴四邊形ABCD是梯形.
∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是直角梯形.