Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，與x軸交于A（x₁，0）、
B（x₂，0），x₁﹤0﹤x₂，與y軸交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．
（1）求證： ；
（2）求m、n的值；
（3）當(dāng)p﹥0且二次函數(shù)圖象與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值．

Answer 1

（1）證明：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，即，化簡(jiǎn)得：n+4m=0。
（2）解：∵二次函數(shù)與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，
∴OA=－x₁，OB=x₂；。
令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。
由三角函數(shù)定義得：。
∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即 ，化簡(jiǎn)得：。
將 代入得：，化簡(jiǎn)得：。
由（1）知n+4m=0，
∴當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=－1時(shí)，。
∴m、n的值為： ，n=－1（此時(shí)拋物線開(kāi)口向上）或 ，n=1（此時(shí)拋物線開(kāi)口向下）。
（3）解：由（2）知，當(dāng)p＞0時(shí)，n=1， ，
∴拋物線解析式為：。
聯(lián)立拋物線與直線y=x+3解析式得到：，
化簡(jiǎn)得： 。
∵二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)，
∴一元二次方程＊根的判別式等于0，即△=0²+16（p－3）=0，解得p=3。
∴拋物線解析式為：。
當(dāng)x=2時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為4。
∴當(dāng)p＞0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為4。

解析