Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．點P在AC上，PQ⊥BP，交CD于Q，PE⊥CD，交于CD于E．點P從A點（不含A）沿AC方向移動，直到使點Q與點C重合為止．
（1）設AP=x，△PQE的面積為S．請寫出S關于x的函數(shù)解析式，并確定x的取值范圍．
（2）點P在運動過程中，△PQE的面積是否有最大值？若有，請求出最大值及此時AP的取值；若無，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點P作PF⊥BC，垂足為F，易證△PFC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，可以求出BC、AB．證明△ABK∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等就可以求解．
（2）△PQE面積有最大值，就是求函數(shù)的最值問題，根據(jù)函數(shù)的性質就可以求解．
解答：解：（1）過點P作PF⊥BC，垂足為F．
∵在矩形ABCD中，PF∥AB
∴△PFC∽△ABC（1分）
∴
又∵AP=x，BC=AD=1，AB=2
又∵在Rt△ABC中，
∴PC=3-x
∴
∴
（2分）
又∵PE⊥CD
∴∠PEC=90°
又在四邊形PFCE中，∠PFC=∠BCD=∠PEC=90°
∴四邊形PFCE為矩形
∴∠FPE=90°
又∵PQ⊥BP
∴∠BPQ=90°
∴∠FPE=∠BPQ
∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ
∴∠EPQ=∠BPF又∠PEQ=∠BFP=90°
∴△PEQ∽△PFB（3分）
∴
又∵PE=FC
∴
又∵
∴
∴
∴
∴（4分）
∴S=EQ•PE=ו
∴或（5分）
過點B作BK⊥AC，垂足為K．
在Rt△ABC中，由等積法可得AC•BK=AB•BC（6分）
∴AC•BK=AB•BC
∴BK==
由題意可得當Q與C重合時，P與K重合即AP=AK，
由△ABK∽△ACB
得
即
∴
∴x的取值范圍是（7分）

（2）△PQE面積有最大值（8分）
由（1）可得=（9分）
∴當即時，S面積最大，即S_最大=．（10分）
點評：本題是函數(shù)與三角形的相似相結合的題目，難度較大．