Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是BD、AC的中點(diǎn)．
（1）請(qǐng)判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由．
（2）連接EF與GH，猜想EF與GH有怎樣的特殊關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：

分析：（1）首先運(yùn)用三角形中位線定理可得到FG∥AB，HE∥AB，F(xiàn)H∥CD，GE∥DC，從而在根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行得到GE∥FH，GF∥EH，可得到四邊形ABCD是平行四邊形，再運(yùn)用三角形中位線定理證明鄰邊相等，從而證明它是菱形．
（2）利用菱形的對(duì)角線的性質(zhì)直接寫出兩者之間的關(guān)系即可．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點(diǎn)，
∴FG∥AB，HE∥AB，F(xiàn)H∥CD，GE∥DC，
∴GE∥FH，GF∥EH（平行于同一條直線的兩直線平行）；
∴四邊形GFHE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點(diǎn)，
∴FG是△ABD的中位線，GE是△BCD的中位線，
∴GF=

1

2

AB，GE=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴GF=GE，
∴四邊形EHFG是菱形．

（2）垂直且平分；
∵連接EF與GH，猜想EF與GH有怎樣的特殊關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想．
∴EF⊥GH，且互相平分．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形中位線定理和菱形的判定方法，題目比較典型，又有綜合性，難度不大．