Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），拋物線y=mx²-mx+n（m、n為常數(shù)）和y軸交于A（0，2

3

）、和x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)），且tan∠ABC=

3

，如果將拋物線y=mx²-mx+n沿x軸向右平移四個(gè)單位，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為E．
（1）求拋物線y=mx²-mx+n的對(duì)稱軸及其解析式；
（2）連接AE，記平移后的拋物線的對(duì)稱軸與AE的交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)F在x軸上，且△ABD與△EFD相似，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求出拋物線的對(duì)稱軸，求出點(diǎn)B坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）求出平移后的對(duì)稱軸方程、點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式，進(jìn)而求出交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）△ABD與△EFD相似，有兩種情形，需要分類討論．

解答：解：（1）拋物線y=mx²-mx+n的對(duì)稱軸為直線：x=-

-m

2m

=

1

2

．
∵A（0，2

3

），tan∠ABC=

3

，
∴B（2，0）．
∵點(diǎn)A（0，2

3

），B（2，0）在拋物線y=mx²-mx+n上，
∴

n=2 3 4m-2m+n=0

，解得

m=- 3 n=2 3

，
∴拋物線解析式為：y=-

3

x²+

3

x+2

3

．

（2）依題意畫出圖形，如答圖1所示：

B（2，0）向右平移四個(gè)單位后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，0），
向右平移四個(gè)單位后的新拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

9

2

．
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，
將A（0，2

3

），E（6，0）代入得：

b=2 3 6k+b=0

，解得：

k=- 3 3 b=2 3

，
∴直線AE的解析式為：y=-

3

3

x+2

3

．
當(dāng)x=

9

2

時(shí)，y=

3

2

，
∴交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

9

2

，

3

2

）．

（3）∵A（0，2

3

），E（6，0），
∴tan∠AEB=

3

3

，∴∠AEB=30°，∠EAO=60°；
∵A（0，2

3

），B（2，0），
∴tan∠BAO=

3

3

，∴∠BAO=30°，∴∠BAE=30°．
由答圖1，易知AB=

OA

cos30°

=4，NE=

3

2

，DE=

NE

cos30°

=

3

，AE=

OE

cos30°

=4

3

，
∴AD=AE-DE=3

3

．
∵∠BAE=∠AEB=30°，
∴△ABD與△EFD相似，有以下兩種情形，如答圖2所示：

①若△ADB∽△EDF，則有

EF

AB

=

ED

AD

，
∴EF=

ED

AD

•AB=

3

3 3

×4=

4

3

；
②若△ADB∽△EFD，則有

EF

AD

=

ED

AB

，
∴EF=

ED

AB

•AD=

3

4

×3

3

=

9

4

．
綜上所述，符合題意的EF的長(zhǎng)度為

4

3

或

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解直角三角形、平移變換、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．第（3）問注意要分類討論．