Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=4，直線y=2x-4經(jīng)過點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)G．
（1）點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是C （

 

，

 

），D（

 

，

 

）；
（2）求頂點(diǎn)在直線y=2x-4上且經(jīng)過點(diǎn)C、D的拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線沿直線y=2x-4平移，平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)F，頂點(diǎn)為點(diǎn)E．平移后是否存在這樣的拋物線，使△EFG為等腰三角形？若存在，請求出此時(shí)拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由BC=4就可以得出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，將y=4代入解析式y(tǒng)=2x-4求出x的值就可以求出B的坐標(biāo)及C的坐標(biāo)，同時(shí)可以得出OB的值，由AB=3就可以求出OA的值，而得出D的坐標(biāo)；
（2）由C、D的縱坐標(biāo)相等就可以求出拋物線的對稱軸，由頂點(diǎn)在直線GC上就可以求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)拋物線沿直線y=2x-4平移，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m-4），則拋物線的解析式為y=

4

3

（x-m）²+2m-4．分情況．當(dāng)m＞0時(shí)，如圖1，當(dāng)EF=EG時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可以得出EF=EG=

5

m，OH=4-2m，HG=2m，OF=4m-4，F(xiàn)的坐標(biāo)為（0，4m-4），代入解析式就可以求出結(jié)論；如圖2，GE=GF時(shí)，得出GE=GF=

5

m，OF=4-

5

m，F(xiàn)（0，

5

m-4），代入解析式就可以求出結(jié)論；當(dāng)m＜0時(shí)，如圖3，GE=GF時(shí)，得出GE=GF=-

5

m，OF=-4-

5

m，F(xiàn)（0，-

5

m-4），代入解析式就可以求出結(jié)論；當(dāng)EF=EG時(shí)不存在．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥AB．
∵BC=4，
∴C的縱坐標(biāo)為4，AD=3．
∴4=2x-4，
∴x=4，
∴C（4，4），
∴OB=4．
∵AB=3，
∴OA=1，
∴（1，4）
故答案為：C（4，4）D（1，4）；
（2）∵CD∥x軸，C（4，4）D（1，4）；
∴拋物線的對稱軸為：x=

4+1

2

=2.5，
∴y=2×2.5-4=1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5，1）．
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2.5）²+1，由題意，得
4=a（4-2.5）²+1，
解得：a=

4

3

，
∴拋物線的解析式為：y=

4

3

（x-

5

2

）²+1；
（3）∵拋物線的頂點(diǎn)在直線y=2x-4上平移，設(shè)頂點(diǎn)作表為（m，2m-4），
∴拋物線的解析式為y=

4

3

（x-m）²+2m-4．
當(dāng)m＞0時(shí)，如圖1，當(dāng)EF=EG時(shí)，作EH⊥y軸，
FH=GH．
∴OH=4-2m，
∴HG=4-（4-2m）=2m，
∴OF=2m-（4-2m）=4m-4，
∴F（0，4m-4），
∴4m-4=

4

3

（0-m）²+2m-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=

3

2

；
∴2m-4=-1，
∴E（

3

2

，-1）；
如圖2，GE=GF時(shí)，得出GE=GF=

(m-0)2+[2m-4-(-4)]2

=

5

m．
∵OG=4，
∴OF=4-

5

m，
∴F（0，

5

m-4），
∴

5

m-4=

4

3

（0-m）²+2m-4，
∴m₁=0（舍去），m₂=

3 5 -6

4

，
∴2m-4=

3 5 -14

2

，
∴E（

3 5 -6

4

，

3 5 -14

2

）；
當(dāng)m＜0時(shí)，如圖3，GE=GF時(shí)，得出GE=GF=

(m-0)2+[2m-4-(-4)]2

=-

5

m，
∵OG=4，
∴OF=-

5

m-4，
∴F（0，-

5

m-4），
∴-

5

m-4=

4

3

（0-m）²+2m-4，
∴m₁=0，m₂=

-6-3 5

4

，
∴2m-4=

-14-3 5

2

，
∴E（

-6-3 5

4

，

-14-3 5

2

）．
當(dāng)EF=EG時(shí)不存在．
∴E的坐標(biāo)為：（

3

2

，-1）；（

3 5 -6

4

，

3 5 -14

2

）；（

-6-3 5

4

，

-14-3 5

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，拋物線的性質(zhì)和它的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用，一次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的運(yùn)用．解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．