Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線y=﹣x+4交拋物線于點(diǎn)C．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）在直線AC上有一動(dòng)點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E在某個(gè)位置時(shí)，使△BDE的周長最小，求此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在直線AC與拋物線圍成的封閉線A→C→B→D→A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在使△BDE為直角三角形的情況，若存在，請直接寫出符合要求的E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4

（2）

解：如圖1，

作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)F，連接DF交AC于點(diǎn)E，

由（1）得，拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4①，

∴D（0，﹣4），

∵點(diǎn)C是直線y=﹣x+4②與拋物線的交點(diǎn)，

∴聯(lián)立①②解得， （舍）或 ，

∴C（﹣2，6），

∵A（4，0），

∴直線AC解析式為y=﹣x+4，

∵直線BF⊥AC，且B（﹣1，0），

∴直線BF解析式為y=x+1，

設(shè)點(diǎn)F（m，m+1），

∴G（ ， ），

∵點(diǎn)G在直線AC上，

∴﹣ ，

∴m=4，

∴F（4，5），

∵D（0，﹣4），

∴直線DF解析式為y= x﹣4，

∵直線AC解析式為y=﹣x+4，

∴直線DF和直線AC的交點(diǎn)E（ ， ）

（3）

解：∵BD= ，

由（2）有，點(diǎn)B到線段AC的距離為BG= BF= ×5 = ＞BD，

∴∠BED不可能是直角，

∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），

∴直線BD解析式為y=﹣4x+4，

∵△BDE為直角三角形，

∴①∠BDE=90°，

∴BE⊥BD交AC于B，

∴直線BE解析式為y= x+ ，

∵點(diǎn)E在直線AC：y=﹣x+4的圖象上，

∴E（3，1），

②∠BDE=90°，

∴BE⊥BD交AC于D，

∴直線BE的解析式為y= x﹣4，

∵點(diǎn)E在拋物線y=x2﹣3x﹣4上，

∴直線BE與拋物線的交點(diǎn)為（0，﹣4）和（ ，﹣ ），

∴E（ ，﹣ ），

即：滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（3，1）或（ ，﹣ ）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先判斷出周長最小時(shí)BE⊥AC，即作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)E，聯(lián)立方程組即可；（3）三角形BDE是直角三角形時(shí)，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，兩種情況，利用直線垂直求出點(diǎn)E坐標(biāo)．此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，極值，對稱性，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．