Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，等邊三角形OAB的一個頂點(diǎn)為A（2，0），另一個頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．
（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）如果一個四邊形是以它的一條對角線為對稱軸的軸對稱圖形，那么我們稱這樣的四邊形為“箏形”．點(diǎn)Q在（1）的拋物線上，且以O(shè)、A、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是“箏形”，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)△OAB的外接圓⊙M，試判斷（2）中的點(diǎn)Q與⊙M的位置關(guān)系，并通過計(jì)算說明理由．

Answer 1

解：（1）過B作BC⊥x軸于C．
∵等邊三角形OAB的一個頂點(diǎn)為A（2，0），
∴OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°．
∴BC=．
∴B．
設(shè)經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的
解析式為：．
將A（2，0）代入得：，
解得．
∴經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為．
即；

（2）依題意分為三種情況：
（�。┊�(dāng)以O(shè)A、OB為邊時，
∵OA=OB，
∴過O作OQ⊥AB交拋物線于Q．
則四邊形OAQB是箏形，且∠QOA=30°．
作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，
設(shè)Q，則．
解得：．
∴Q．
（ⅱ）當(dāng)以O(shè)A、AB為邊時，由對稱性可知Q．
（ⅲ）當(dāng)以O(shè)B、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形．
∴Q或．

（3）點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)．
由等邊三角形性質(zhì)可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點(diǎn)，
當(dāng)Q時，
∵M(jìn)C∥QD，
∴△OMC∽△OQD．
∴．
∴．
∴．
∴MQ==．
又，
∵＜，
∴Q在⊙M內(nèi)．
當(dāng)Q時，由對稱性可知點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)．
綜述，點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)．
分析：（1）先求出點(diǎn)B，則設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，將點(diǎn)A代入即得到方程式；
（2）（�。┊�(dāng)以O(shè)A、OB為邊時，作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，QD=ODtan∠QOD，從而求得點(diǎn)Q．（ⅱ）當(dāng)以O(shè)A、AB為邊時，由對稱性求得Q．（ⅲ）當(dāng)以O(shè)B、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形．求得點(diǎn)Q．
（3）點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)．由等邊三角形性質(zhì)可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點(diǎn)，求得△OMC∽△OQD．從而求得點(diǎn)M，進(jìn)而求得MQ，從而求得點(diǎn)Q的位置．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，（1）先求出點(diǎn)B，則設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，將點(diǎn)A代入即得到方程式；（2）（�。┊�(dāng)以O(shè)A、OB為邊時，作QD⊥x軸于D，QD=ODtan∠QOD，QD=ODtan∠QOD，從而求得點(diǎn)Q．（ⅱ）當(dāng)以O(shè)A、AB為邊時，由對稱性求得Q．（ⅲ）當(dāng)以O(shè)B、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q使BOQA為箏形．求得點(diǎn)Q．（3）點(diǎn)Q在⊙M內(nèi)．由等邊三角形性質(zhì)可知△OAB的外接圓圓心M是（2）中BC與OQ的交點(diǎn)，求得△OMC∽△OQD．從而求得點(diǎn)M，進(jìn)而求得MQ，從而求得點(diǎn)Q的位置．本題有一定難度，思路性強(qiáng)．