Question

如圖,在□ABCD中,過(guò)A、B、D三點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)E,連接DE,∠CDE=∠DAE．

（1）判斷四邊形ABED的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）若AB=3，AE=6，求CE的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

（1）等腰梯形，理由見(jiàn)解析；（2）相切，理由見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）四邊形ABED為等腰梯形，理由為：利用四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角得到一對(duì)角相等，再由平行四邊形的對(duì)角相等，利用等量代換得到∠DEC=∠C，利用等角對(duì)等邊得到DE=DC，而DC=AB，故DE=AB，再由BE與AD平行，DE與AB不平行即可得證；

（2）DC與圓O相切，理由：連接DO并延長(zhǎng)與圓交于F點(diǎn)，利用圓周角定理及等量代換得到OD與DC垂直，即可得證；

（3）由等腰梯形對(duì)角線相等得到AE=BD，利用弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角，以及公共角相等得到三角形CDE與三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CE的長(zhǎng)．

試題解析：（1）四邊形ABED是等腰梯形．

理由如下：在□ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB．

∴，DE=AB．

∵AB∥CD，∴AB與DE不平行．

∴四邊形ABDE是等腰梯形．

（2）直線DC與⊙O相切．

如圖，作直徑DF，連接AF．于是，∠EAF=∠EDF．

∵∠DAE=∠CDE，

∴∠EAF＋∠DAE=∠EDF＋∠CDE，即∠DAF=∠CDF．

∵DF是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，

∴∠DAF=90°，∴∠CDF=90°．∴OD⊥CD．

直線DC經(jīng)過(guò)⊙O半徑OD外端D，且與半徑垂直，

直線DC與⊙O相切．

（3）由（1），∠EDA=∠DAB．

在□ABCD中，∠DAB=∠DCB，

∴∠EDA=∠DCB．又∵∠DAE=∠CDE，

∴△ADE∽△DCE．

∴，

∵AB=3，由（1）得，AB=DE=DC=3．

即．

解得，CE=．

考點(diǎn)：1.切線的判定；2.平行四邊形的性質(zhì)．